ユークリッド原論 第1巻

1. ABC、DBC を同じ底辺 BC の上、その同じ側にある等しい三角形とする。主張：これらは同じ平行線の間にある。すなわち AD は BC に平行である。（A、B、C、D をドラッグしてみてください。）
2. そうでなければ、点 A を通って直線 BC に平行に AE を引き、EC を結ぶ。（E はこの仮定のもとでの位置に描いてあります。）

   命題 I.31公準 1

   命題 I.31：与えられた点を通って、与えられた直線に平行な直線を引くこと。

   公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
3. すると三角形 ABC は三角形 EBC に等しい。同じ底辺 BC の上、同じ平行線の間にあるからである。

   命題 I.37

   命題 I.37：同じ底辺の上にあり、同じ平行線の間にある三角形は、互いに等しい。
4. しかし ABC は DBC に等しい。よって DBC も EBC に等しくなり、大きいものが小さいものに等しいことになって不可能である。

   公理 1公理 5

   公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。

   公理 5：全体は部分より大きい。
5. よって AE は BC に平行でなく、同様に AD 以外のどの直線も平行でない。ゆえに AD は BC に平行である。

これが証明すべきことであった。