Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soient ABC, DBC des triangles égaux sur la même base BC et du même côté de celle-ci. Je dis qu'ils sont aussi entre les mêmes parallèles, c'est-à-dire que AD est parallèle à BC. (Essayez de déplacer A, B, C ou D.)
2. Sinon, menons par le point A la droite AE parallèle à la droite BC, et menons EC. (E est placé comme le voudrait cette supposition.)

   Proposition I.31Demande 1

   Proposition I.31 : Par un point donné, mener une droite parallèle à une droite donnée.

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
3. Alors le triangle ABC est égal au triangle EBC, car il est sur la même base BC et entre les mêmes parallèles.

   Proposition I.37

   Proposition I.37 : Les triangles construits sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux.
4. Mais ABC est égal à DBC ; donc DBC est aussi égal à EBC, le plus grand au plus petit, ce qui est impossible.

   Notion commune 1Notion commune 5

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.

   Notion commune 5 : Le tout est plus grand que la partie.
5. Donc AE n'est pas parallèle à BC ; et de même aucune autre droite que AD. Donc AD est parallèle à BC.

Ce qu'il fallait démontrer.