Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.3 · Aufgabe

Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die zwei gegebenen ungleichen Strecken seien AB und C, und AB sei die größere. Man soll auf der größeren AB eine der kleineren C gleiche Strecke abtragen. (Ziehen Sie die Enden von C, um ihre Länge zu ändern.)
  2. An den Punkt A lege man AD gleich der Strecke C hin.
    Proposition I.2
    Proposition I.2: An einem gegebenen Punkt eine einer gegebenen Strecke gleiche Strecke hinzulegen.
  3. Mit dem Mittelpunkt A und dem Abstand AD zeichne man den Kreis DEF; er schneidet AB in E.
    Postulat 3
    Postulat 3: dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
  4. Da der Punkt A Mittelpunkt des Kreises DEF ist, ist AE gleich AD.
    Definition 15
    Definition 15: Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie umfasste Figur, so dass alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkt bis zur Linie laufenden Strecken einander gleich sind.
  5. Auch C ist gleich AD; also ist jede der Strecken AE, C gleich AD, und somit ist auch AE gleich C. Damit ist auf der größeren AB die Strecke AE gleich der kleineren C abgetragen.
    Axiom 1
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.