Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.41 · Lehrsatz

Hat ein Parallelogramm mit einem Dreieck dieselbe Grundlinie und liegt es zwischen denselben Parallelen, so ist das Parallelogramm doppelt so groß wie das Dreieck.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Das Parallelogramm ABCD habe mit dem Dreieck EBC dieselbe Grundlinie BC und liege zwischen denselben Parallelen BC, AE. Behauptung: Das Parallelogramm ABCD ist doppelt so groß wie das Dreieck BEC. (Ziehen Sie A, B, C oder E.)
  2. Man ziehe AC.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  3. Das Dreieck ABC ist dem Dreieck EBC gleich, denn es steht auf derselben Grundlinie BC und zwischen denselben Parallelen BC, AE.
    Proposition I.37
    Proposition I.37: Dreiecke auf derselben Grundlinie und zwischen denselben Parallelen sind einander gleich.
  4. Die Diagonale AC halbiert aber das Parallelogramm ABCD, also ist ABCD doppelt so groß wie das Dreieck ABC und damit auch doppelt so groß wie das Dreieck EBC.
    Proposition I.34
    Proposition I.34: Im Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale halbiert es.