Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.41 · Théorème

Si un parallélogramme a la même base qu'un triangle et est entre les mêmes parallèles, le parallélogramme est double du triangle.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Que le parallélogramme ABCD ait la même base BC que le triangle EBC, et soit entre les mêmes parallèles BC, AE. Je dis que le parallélogramme ABCD est double du triangle BEC. (Essayez de déplacer A, B, C ou E.)
  2. Menons AC.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  3. Le triangle ABC est égal au triangle EBC, car il est sur la même base BC et entre les mêmes parallèles BC, AE.
    Proposition I.37
    Proposition I.37 : Les triangles construits sur la même base et entre les mêmes parallèles sont égaux entre eux.
  4. Mais la diagonale AC partage le parallélogramme ABCD en deux parties égales, donc ABCD est double du triangle ABC ; il est donc aussi double du triangle EBC.
    Proposition I.34
    Proposition I.34 : Dans les parallélogrammes, les côtés et les angles opposés sont égaux entre eux, et la diagonale les partage en deux parties égales.