Предложение I.41 · Теорема
Если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллельными, то параллелограмм вдвое больше треугольника.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть параллелограмм ABCD имеет то же основание BC, что и треугольник EBC, и находится между теми же параллельными BC, AE. Утверждается, что параллелограмм ABCD вдвое больше треугольника BEC. (Попробуйте перетащить A, B, C или E.)
- Проведём AC.Постулат 1Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Треугольник ABC равен треугольнику EBC, ибо он стоит на том же основании BC и между теми же параллельными BC, AE.Предложение I.37Предложение I.37: Треугольники, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же параллельными, равны между собой.
- Но диаметр AC делит параллелограмм ABCD пополам, так что ABCD вдвое больше треугольника ABC; значит, он вдвое больше и треугольника EBC.Предложение I.34Предложение I.34: В параллелограммах противоположные стороны и углы равны между собой, и диагональ рассекает их пополам.
Что и требовалось доказать.