साध्य I.41 · प्रमेय
यदि कोई समांतर चतुर्भुज किसी त्रिभुज के साथ एक ही आधार पर हो और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हो, तो समांतर चतुर्भुज त्रिभुज का दुगुना होता है।
लाल घेरे वाले बिंदुओं को खींचिए। आकृति बदलती है, पर उपपत्ति का हर चरण सही बना रहता है।
- मान लीजिए समांतर चतुर्भुज ABCD और त्रिभुज EBC का आधार एक ही BC है, और वे एक ही समांतर रेखाओं BC, AE के बीच हैं। दावा: समांतर चतुर्भुज ABCD त्रिभुज BEC का दुगुना है। (A, B, C या E को खींचकर देखिए।)
- AC मिलाइए।अभिगृहीत 1अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
- त्रिभुज ABC त्रिभुज EBC के बराबर है, क्योंकि वे एक ही आधार BC पर और एक ही समांतर रेखाओं BC, AE के बीच हैं।साध्य I.37साध्य I.37: एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुज परस्पर बराबर होते हैं।
- पर विकर्ण AC समांतर चतुर्भुज ABCD को समद्विभाजित करता है, अतः ABCD त्रिभुज ABC का दुगुना है; इसलिए वह त्रिभुज EBC का भी दुगुना है।साध्य I.34साध्य I.34: समांतर चतुर्भुजों में सम्मुख भुजाएँ और कोण परस्पर बराबर होते हैं, और विकर्ण उसे समद्विभाजित करता है।
यही सिद्ध करना था।