命題 I.42 · 作図題
与えられた直線角の中に、与えられた三角形に等しい平行四辺形を作ること。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- ABC を与えられた三角形、D を与えられた直線角とする。直線角 D に等しい角をもち、三角形 ABC に等しい平行四辺形を作図しなければならない。（角 D の 2 辺も含め、すべての点をドラッグできます。）
- BC を E で 2 等分し、AE を結ぶ。命題 I.10公準 1命題 I.10：与えられた有限な直線を 2 等分すること。公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
- 直線 EC 上の点 E において、角 CEF を角 D に等しく作図する。命題 I.23命題 I.23：与えられた直線上の与えられた点に、与えられた直線角に等しい直線角を作ること。
- A を通って EC に平行に AG を、C を通って EF に平行に CG を引く。すると FECG は平行四辺形である。命題 I.31命題 I.31：与えられた点を通って、与えられた直線に平行な直線を引くこと。
- BE は EC に等しいから、三角形 ABE は三角形 AEC に等しい。よって三角形 ABC は三角形 AEC の 2 倍である。命題 I.38命題 I.38：等しい底辺の上にあり、同じ平行線の間にある三角形は、互いに等しい。
- 平行四辺形 FECG は三角形 AEC と同じ底辺をもち、同じ平行線の間にあるから、これも AEC の 2 倍である。ゆえに FECG は三角形 ABC に等しく、角 CEF は角 D に等しい。命題 I.41公理 1命題 I.41：平行四辺形が三角形と同じ底辺をもち、同じ平行線の間にあれば、平行四辺形は三角形の 2 倍である。公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。
これが作図すべきことであった。