Начала Евклида Книга I

1. Пусть ABC — данный треугольник, а D — данный прямолинейный угол. Требуется в прямолинейном угле D построить параллелограмм, равный треугольнику ABC. (Все точки можно перетаскивать, включая стороны угла D.)
2. Рассечём BC пополам в точке E и проведём AE.

   Предложение I.10Постулат 1

   Предложение I.10: Данную ограниченную прямую рассечь пополам.

   Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
3. На прямой EC при точке E построим угол CEF, равный углу D.

   Предложение I.23

   Предложение I.23: На данной прямой и в данной на ней точке построить прямолинейный угол, равный данному прямолинейному углу.
4. Через A проведём AG параллельно EC, а через C проведём CG параллельно EF. Тогда FECG — параллелограмм.

   Предложение I.31

   Предложение I.31: Через данную точку провести прямую линию, параллельную данной прямой.
5. Так как BE равна EC, треугольник ABE равен треугольнику AEC; значит, треугольник ABC вдвое больше треугольника AEC.

   Предложение I.38

   Предложение I.38: Треугольники, находящиеся на равных основаниях и между одними и теми же параллельными, равны между собой.
6. Параллелограмм FECG имеет то же основание, что и треугольник AEC, и находится между теми же параллельными, так что он тоже вдвое больше AEC. Значит, FECG равен треугольнику ABC и имеет угол CEF, равный углу D.

   Предложение I.41Аксиома 1

   Предложение I.41: Если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллельными, то параллелограмм вдвое больше треугольника.

   Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.

Что и требовалось сделать.