Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.43 · Lehrsatz

In jedem Parallelogramm sind die Ergänzungen der um die Diagonale liegenden Parallelogramme einander gleich.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Es sei ABCD ein Parallelogramm und AC seine Diagonale; um AC seien EH, FG Parallelogramme und BK, KD die sogenannten Ergänzungen. Behauptung: Die Ergänzung BK ist der Ergänzung KD gleich. (Ziehen Sie A, B, D oder K.)
  2. Da ABCD ein Parallelogramm und AC seine Diagonale ist, ist das Dreieck ABC dem Dreieck ACD gleich.
    Proposition I.34
    Proposition I.34: Im Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale halbiert es.
  3. Ebenso ist, da EH ein Parallelogramm und AK seine Diagonale ist, das Dreieck AEK dem Dreieck AHK gleich.
    Proposition I.34
    Proposition I.34: Im Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale halbiert es.
  4. Aus demselben Grund ist auch das Dreieck KFC dem Dreieck KGC gleich.
    Proposition I.34
    Proposition I.34: Im Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale halbiert es.
  5. Man nehme von den gleichen Dreiecken ABC, ACD die gleichen Teile AEK, KGC und AHK, KFC weg; dann ist die übrige Ergänzung BK der übrigen Ergänzung KD gleich.
    Axiom 3
    Axiom 3: Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.