ユークリッド原論 第1巻

定義 23 · 公準 5 · 公理 5 · 命題 48

命題 I.43 · 定理

任意の平行四辺形において、対角線のまわりの平行四辺形の補形は互いに等しい。

赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
  1. ABCD を平行四辺形、AC をその対角線とし、AC のまわりの平行四辺形を EH、FG、いわゆる補形を BK、KD とする。主張：補形 BK は補形 KD に等しい。（A、B、D、K をドラッグしてみてください。）
  2. ABCD は平行四辺形で AC はその対角線だから、三角形 ABC は三角形 ACD に等しい。
    命題 I.34
    命題 I.34：平行四辺形では、向かい合う辺と角は互いに等しく、対角線はそれを 2 等分する。
  3. また EH は平行四辺形で AK はその対角線だから、三角形 AEK は三角形 AHK に等しい。
    命題 I.34
    命題 I.34：平行四辺形では、向かい合う辺と角は互いに等しく、対角線はそれを 2 等分する。
  4. 同じ理由で、三角形 KFC も三角形 KGC に等しい。
    命題 I.34
    命題 I.34：平行四辺形では、向かい合う辺と角は互いに等しく、対角線はそれを 2 等分する。
  5. 等しい三角形 ABC、ACD から、等しい部分 AEK、KGC と AHK、KFC をそれぞれ引くと、残りの補形 BK は残りの補形 KD に等しい。
    公理 3
    公理 3：等しいものから等しいものが引かれれば、残りは等しい。