Proposition I.43 · Compléments — Les Éléments d'Euclide

Proposition I.43 · Théorème

Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes placés autour de la diagonale sont égaux entre eux.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.

Soit ABCD un parallélogramme et AC sa diagonale ; autour de AC soient EH, FG des parallélogrammes, et BK, KD ce qu'on appelle les compléments. Je dis que le complément BK est égal au complément KD. (Essayez de déplacer A, B, D ou K.)
Puisque ABCD est un parallélogramme et AC sa diagonale, le triangle ABC est égal au triangle ACD.
Proposition I.34
Proposition I.34 : Dans les parallélogrammes, les côtés et les angles opposés sont égaux entre eux, et la diagonale les partage en deux parties égales.
De même, puisque EH est un parallélogramme et AK sa diagonale, le triangle AEK est égal au triangle AHK.
Proposition I.34
Proposition I.34 : Dans les parallélogrammes, les côtés et les angles opposés sont égaux entre eux, et la diagonale les partage en deux parties égales.
Pour la même raison le triangle KFC est aussi égal au triangle KGC.
Proposition I.34
Proposition I.34 : Dans les parallélogrammes, les côtés et les angles opposés sont égaux entre eux, et la diagonale les partage en deux parties égales.
Des triangles égaux ABC, ACD retranchons les parties égales AEK, KGC et AHK, KFC ; le complément restant BK est égal au complément restant KD.
Notion commune 3
Notion commune 3 : Si de choses égales on retranche des choses égales, les restes sont égaux.