Euklids Elemente Buch I

1. Die gegebene Gerade sei AB, das gegebene Dreieck C und der gegebene geradlinige Winkel D. Man soll an die Gerade AB in einem Winkel gleich dem Winkel D ein Parallelogramm anlegen, das dem Dreieck C gleich ist. (Alle Punkte lassen sich ziehen.)
2. Man errichte das Parallelogramm BEFG gleich dem Dreieck C im Winkel EBG gleich dem Winkel D, und zwar so, dass BE mit AB in gerader Linie liegt.

   Proposition I.42

   Proposition I.42: In einem gegebenen geradlinigen Winkel ein einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm zu errichten.
3. Man verlängere FG bis H und ziehe durch A die Gerade AH parallel zu BG oder EF.

   Postulat 2Proposition I.31

   Postulat 2: dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,

   Proposition I.31: Durch einen gegebenen Punkt eine einer gegebenen Geraden parallele Gerade zu ziehen.
4. Man ziehe HB. Da die Winkel AHF, HFE zusammen zwei Rechten gleich sind, sind die Winkel BHG, GFE kleiner als zwei Rechte; also treffen sich HB, FE verlängert. Sie mögen sich in K treffen.

   Proposition I.29Postulat 5

   Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.

   Postulat 5: und dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich auf der Seite treffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
5. Durch K ziehe man KL parallel zu EA oder FH und verlängere HA, GB bis zu den Punkten L, M.

   Proposition I.31

   Proposition I.31: Durch einen gegebenen Punkt eine einer gegebenen Geraden parallele Gerade zu ziehen.
6. Dann ist HLKF ein Parallelogramm, HK seine Diagonale, und LB, BF sind die Ergänzungen; also ist LB gleich BF.

   Proposition I.43

   Proposition I.43: In jedem Parallelogramm sind die Ergänzungen der um die Diagonale liegenden Parallelogramme einander gleich.
7. BF ist aber dem Dreieck C gleich; also ist auch LB gleich C. Und der Winkel GBE ist gleich dem Winkel ABM und damit gleich dem Winkel D. Also ist an die Gerade AB das Parallelogramm LB, gleich dem Dreieck C, im Winkel ABM gleich dem Winkel D angelegt.

   Axiom 1Proposition I.15

   Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.

   Proposition I.15: Wenn zwei gerade Linien einander schneiden, sind die Scheitelwinkel einander gleich.

Das war zu konstruieren.