यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए AB दी गई सरल रेखा है, C दिया गया त्रिभुज है और D दिया गया ऋजुरेखीय कोण है। सरल रेखा AB पर, कोण D के बराबर कोण में, त्रिभुज C के बराबर समांतर चतुर्भुज लगाना है। (सभी बिंदुओं को खींचा जा सकता है।)
2. त्रिभुज C के बराबर समांतर चतुर्भुज BEFG बनाइए, जिसका कोण EBG कोण D के बराबर हो, और उसे इस प्रकार रखिए कि BE, AB की सीध में हो।

   साध्य I.42

   साध्य I.42: दिए गए ऋजुरेखीय कोण में, दिए गए त्रिभुज के बराबर समांतर चतुर्भुज बनाना।
3. FG को H तक बढ़ाइए, और A से होकर BG या EF के समांतर AH खींचिए।

   अभिगृहीत 2साध्य I.31

   अभिगृहीत 2: किसी सांत सरल रेखा को सीध में लगातार बढ़ाया जा सकता है।

   साध्य I.31: दिए गए बिंदु से होकर दी गई सरल रेखा के समांतर सरल रेखा खींचना।
4. HB मिलाइए। चूँकि कोण AHF, HFE का योग दो समकोणों के बराबर है, कोण BHG, GFE का योग दो समकोणों से कम है; अतः HB, FE बढ़ाने पर मिलेंगी। मान लीजिए वे K पर मिलती हैं।

   साध्य I.29अभिगृहीत 5

   साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।

   अभिगृहीत 5: यदि दो सरल रेखाओं पर पड़ने वाली एक सरल रेखा एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों से कम बनाती है, तो वे दोनों रेखाएँ अनंत तक बढ़ाने पर उसी ओर मिलेंगी जिस ओर कोणों का योग दो समकोणों से कम है।
5. K से होकर EA या FH के समांतर KL खींचिए, और HA, GB को बिंदुओं L, M तक बढ़ाइए।

   साध्य I.31

   साध्य I.31: दिए गए बिंदु से होकर दी गई सरल रेखा के समांतर सरल रेखा खींचना।
6. तब HLKF समांतर चतुर्भुज है, HK उसका विकर्ण है, और LB, BF पूरक हैं; अतः LB, BF के बराबर है।

   साध्य I.43

   साध्य I.43: किसी भी समांतर चतुर्भुज में, विकर्ण के आस-पास के समांतर चतुर्भुजों के पूरक परस्पर बराबर होते हैं।
7. पर BF त्रिभुज C के बराबर है; अतः LB भी C के बराबर है। और कोण GBE कोण ABM के बराबर है, यानी कोण D के बराबर। इस प्रकार सरल रेखा AB पर त्रिभुज C के बराबर समांतर चतुर्भुज LB, कोण D के बराबर कोण ABM में, लगा दिया गया।

   स्वयंसिद्ध 1साध्य I.15

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।

   साध्य I.15: यदि दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटें, तो शीर्षाभिमुख कोण परस्पर बराबर होते हैं।

यही रचना करनी थी।