Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.44 · Problema

Aplicar a una recta dada, en un ángulo rectilíneo dado, un paralelogramo igual a un triángulo dado.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Sea AB la recta dada, C el triángulo dado y D el ángulo rectilíneo dado. Hay que aplicar a la recta AB, en un ángulo igual al ángulo D, un paralelogramo igual al triángulo C. (Todos los puntos se pueden arrastrar.)
  2. Constrúyase el paralelogramo BEFG igual al triángulo C, en el ángulo EBG igual al ángulo D, y colóquese de modo que BE esté en línea recta con AB.
    Proposición I.42
    Proposición I.42: Construir, en un ángulo rectilíneo dado, un paralelogramo igual a un triángulo dado.
  3. Prolónguese FG hasta H, y por A trácese AH paralela a BG o a EF.
    Postulado 2Proposición I.31
    Postulado 2: Prolongar continuamente en línea recta una recta finita.
    Proposición I.31: Trazar por un punto dado una recta paralela a una recta dada.
  4. Trácese HB. Como los ángulos AHF, HFE son iguales a dos rectos, los ángulos BHG, GFE son menores que dos rectos; así HB, FE prolongadas se encontrarán. Encuéntrense en K.
    Proposición I.29Postulado 5
    Proposición I.29: Una recta que incide sobre rectas paralelas forma los ángulos alternos iguales entre sí, el externo igual al interno y opuesto, y los internos del mismo lado iguales a dos rectos.
    Postulado 5: Que, si una recta que incide sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encontrarán en el lado en que están los ángulos menores que dos rectos.
  5. Por K trácese KL paralela a EA o a FH, y prolónguense HA, GB hasta los puntos L, M.
    Proposición I.31
    Proposición I.31: Trazar por un punto dado una recta paralela a una recta dada.
  6. Entonces HLKF es un paralelogramo, HK es su diagonal, y LB, BF son los complementos; por tanto LB es igual a BF.
    Proposición I.43
    Proposición I.43: En todo paralelogramo los complementos de los paralelogramos situados en torno a la diagonal son iguales entre sí.
  7. Pero BF es igual al triángulo C; por tanto LB es también igual a C. Además el ángulo GBE es igual al ángulo ABM, y así al ángulo D. Por tanto se ha aplicado a la recta AB el paralelogramo LB, igual al triángulo C, en el ángulo ABM igual al ángulo D.
    Noción común 1Proposición I.15
    Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
    Proposición I.15: Si dos rectas se cortan, forman ángulos opuestos por el vértice iguales entre sí.