Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soit AB la droite donnée, C le triangle donné et D l'angle rectiligne donné. Il faut appliquer à la droite AB, dans un angle égal à l'angle D, un parallélogramme égal au triangle C. (Tous les points peuvent être déplacés.)
2. Construisons le parallélogramme BEFG égal au triangle C, dans l'angle EBG égal à l'angle D, et plaçons-le de sorte que BE soit en ligne droite avec AB.

   Proposition I.42

   Proposition I.42 : Construire, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à un triangle donné.
3. Prolongeons FG jusqu'en H, et par A menons AH parallèle à BG ou à EF.

   Demande 2Proposition I.31

   Demande 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.

   Proposition I.31 : Par un point donné, mener une droite parallèle à une droite donnée.
4. Menons HB. Puisque les angles AHF, HFE sont égaux à deux droits, les angles BHG, GFE sont plus petits que deux droits ; donc HB, FE prolongées se rencontreront. Qu'elles se rencontrent en K.

   Proposition I.29Demande 5

   Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.

   Demande 5 : Que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces deux droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
5. Par K menons KL parallèle à EA ou à FH, et prolongeons HA, GB jusqu'aux points L, M.

   Proposition I.31

   Proposition I.31 : Par un point donné, mener une droite parallèle à une droite donnée.
6. Alors HLKF est un parallélogramme, HK sa diagonale, et LB, BF sont les compléments ; donc LB est égal à BF.

   Proposition I.43

   Proposition I.43 : Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes placés autour de la diagonale sont égaux entre eux.
7. Mais BF est égal au triangle C ; donc LB est aussi égal à C. Et l'angle GBE est égal à l'angle ABM, donc à l'angle D. Ainsi on a appliqué à la droite AB le parallélogramme LB, égal au triangle C, dans l'angle ABM égal à l'angle D.

   Notion commune 1Proposition I.15

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.

   Proposition I.15 : Si deux droites se coupent, elles font les angles opposés au sommet égaux entre eux.

Ce qu'il fallait faire.