Euklids Elemente Buch I

23 Definitionen · 5 Postulate · 5 Axiome · 48 Propositionen

Proposition I.45 · Aufgabe

In einem gegebenen geradlinigen Winkel ein einer gegebenen geradlinigen Figur gleiches Parallelogramm zu errichten.

Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
  1. Die gegebene geradlinige Figur sei ABCD und der gegebene geradlinige Winkel E. Man soll im gegebenen Winkel E ein Parallelogramm errichten, das ABCD gleich ist. (Alle Punkte lassen sich ziehen.)
  2. Man ziehe DB, das ABCD in die zwei Dreiecke ABD, DBC teilt.
    Postulat 1
    Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
  3. Man errichte das Parallelogramm FKHG gleich dem Dreieck ABD im Winkel HKF gleich dem Winkel E.
    Proposition I.42
    Proposition I.42: In einem gegebenen geradlinigen Winkel ein einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm zu errichten.
  4. An die Gerade GH lege man das Parallelogramm GHML gleich dem Dreieck DBC im Winkel GHM gleich dem Winkel E an.
    Proposition I.44
    Proposition I.44: An eine gegebene Strecke in einem gegebenen geradlinigen Winkel ein einem gegebenen Dreieck gleiches Parallelogramm anzulegen.
  5. Da jeder der Winkel HKF, GHM dem Winkel E gleich ist, füge man beiderseits den Winkel KHG hinzu; dann sind die Winkel KHG, GHM den Winkeln FKH, KHG gleich, also zwei Rechten; also liegt KH mit HM in gerader Linie. Ebenso liegt FG mit GL in gerader Linie.
    Axiom 1Axiom 2Proposition I.29Proposition I.14
    Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
    Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
    Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.
    Proposition I.14: Wenn an einer geraden Linie in einem Punkt auf ihr zwei nicht auf derselben Seite liegende gerade Linien Nebenwinkel bilden, die zusammen zwei Rechten gleich sind, dann liegen diese zwei geraden Linien in gerader Linie.
  6. Also ist KFLM ein Parallelogramm; es ist den zwei Dreiecken ABD, DBC gleich, also ABCD, und hat den Winkel FKM gleich dem Winkel E.
    Proposition I.30Proposition I.33Axiom 2
    Proposition I.30: Derselben geraden Linie parallele gerade Linien sind auch einander parallel.
    Proposition I.33: Die Strecken, die gleiche und parallele Strecken auf denselben Seiten verbinden, sind selbst gleich und parallel.
    Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.