Предложение I.45 · Задача
В данном прямолинейном угле построить параллелограмм, равный данной прямолинейной фигуре.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть ABCD — данная прямолинейная фигура, а E — данный прямолинейный угол. Требуется построить в данном угле E параллелограмм, равный ABCD. (Все точки можно перетаскивать.)
- Проведём DB, делящую ABCD на два треугольника ABD, DBC.Постулат 1Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Построим параллелограмм FKHG, равный треугольнику ABD, в угле HKF, равном углу E.Предложение I.42Предложение I.42: В данном прямолинейном угле построить параллелограмм, равный данному треугольнику.
- Приложим к прямой GH параллелограмм GHML, равный треугольнику DBC, в угле GHM, равном углу E.Предложение I.44Предложение I.44: К данной прямой в данном прямолинейном угле приложить параллелограмм, равный данному треугольнику.
- Так как каждый из углов HKF, GHM равен углу E, прибавим к каждому угол KHG; тогда углы KHG, GHM равны углам FKH, KHG, то есть двум прямым; значит, KH находится на одной прямой с HM. Подобным же образом FG находится на одной прямой с GL.Аксиома 1Аксиома 2Предложение I.29Предложение I.14Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.Предложение I.29: Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.Предложение I.14: Если к какой-нибудь прямой и в какой-нибудь её точке две прямые, лежащие не по одну сторону, образуют смежные углы, вместе равные двум прямым, то эти прямые будут по прямой друг с другом.
- Значит, KFLM — параллелограмм; он равен двум треугольникам ABD, DBC, то есть ABCD, и имеет угол FKM, равный углу E.Предложение I.30Предложение I.33Аксиома 2Предложение I.30: Параллельные одной и той же прямой параллельны и между собой.Предложение I.33: Прямые, соединяющие с одной и той же стороны концы равных и параллельных прямых, и сами равны и параллельны.Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
Что и требовалось сделать.