命題 I.45 · 作図題
与えられた直線角の中に、与えられた直線図形に等しい平行四辺形を作ること。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- ABCD を与えられた直線図形、E を与えられた直線角とする。与えられた角 E に等しい角をもち、ABCD に等しい平行四辺形を作図しなければならない。（すべての点をドラッグできます。）
- DB を結び、ABCD を 2 つの三角形 ABD、DBC に分ける。公準 1公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
- 三角形 ABD に等しく、角 HKF が角 E に等しい平行四辺形 FKHG を作図する。命題 I.42命題 I.42：与えられた直線角の中に、与えられた三角形に等しい平行四辺形を作ること。
- 直線 GH に、三角形 DBC に等しく、角 GHM が角 E に等しい平行四辺形 GHML を付置する。命題 I.44命題 I.44：与えられた直線に、与えられた直線角で、与えられた三角形に等しい平行四辺形をあてはめること。
- 角 HKF、GHM はどちらも角 E に等しいから、それぞれに角 KHG を加えると、角 KHG、GHM の和は角 FKH、KHG の和、すなわち 2 直角に等しい。よって KH は HM と一直線をなす。同様に FG は GL と一直線をなす。公理 1公理 2命題 I.29命題 I.14公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。命題 I.29：平行な 2 直線と交わる直線は、錯角を互いに等しくし、外角を内対角に等しくし、同じ側の内角の和を 2 直角に等しくする。命題 I.14：ある直線とその上の点において、同じ側にない 2 直線が隣り合う角の和を 2 直角に等しくするならば、その 2 直線は一直線をなす。
- ゆえに KFLM は平行四辺形であり、2 つの三角形 ABD、DBC の和、すなわち ABCD に等しく、角 FKM は角 E に等しい。命題 I.30命題 I.33公理 2命題 I.30：同じ直線に平行な直線は、互いにも平行である。命題 I.33：等しく平行な直線の、同じ側の端を結ぶ直線は、それ自身も等しく平行である。公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。
これが作図すべきことであった。