Les Éléments d'Euclide Livre I

23 définitions · 5 demandes · 5 notions communes · 48 propositions

Proposition I.45 · Problème

Construire, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à une figure rectiligne donnée.

Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
  1. Soit ABCD la figure rectiligne donnée et E l'angle rectiligne donné. Il faut construire, dans l'angle donné E, un parallélogramme égal à ABCD. (Tous les points peuvent être déplacés.)
  2. Menons DB, qui partage ABCD en deux triangles ABD, DBC.
    Demande 1
    Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
  3. Construisons le parallélogramme FKHG égal au triangle ABD, dans l'angle HKF égal à l'angle E.
    Proposition I.42
    Proposition I.42 : Construire, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à un triangle donné.
  4. Appliquons à la droite GH le parallélogramme GHML égal au triangle DBC, dans l'angle GHM égal à l'angle E.
    Proposition I.44
    Proposition I.44 : Appliquer à une droite donnée, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à un triangle donné.
  5. Puisque chacun des angles HKF, GHM est égal à l'angle E, ajoutons à chacun l'angle KHG ; les angles KHG, GHM sont alors égaux aux angles FKH, KHG, c'est-à-dire à deux droits ; donc KH est en ligne droite avec HM. De même FG est en ligne droite avec GL.
    Notion commune 1Notion commune 2Proposition I.29Proposition I.14
    Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
    Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.
    Proposition I.29 : Une droite tombant sur des droites parallèles fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé, et les angles intérieurs du même côté égaux à deux droits.
    Proposition I.14 : Si, avec une droite et en un de ses points, deux droites non placées du même côté font les angles adjacents égaux à deux droits, ces deux droites seront en ligne droite.
  6. Donc KFLM est un parallélogramme ; il est égal aux deux triangles ABD, DBC, c'est-à-dire à ABCD, et il a l'angle FKM égal à l'angle E.
    Proposition I.30Proposition I.33Notion commune 2
    Proposition I.30 : Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles.
    Proposition I.33 : Les droites qui joignent du même côté les extrémités de droites égales et parallèles sont elles-mêmes égales et parallèles.
    Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.