Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.45 · Problema

Construir, en un ángulo rectilíneo dado, un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Sea ABCD la figura rectilínea dada y E el ángulo rectilíneo dado. Hay que construir, en el ángulo dado E, un paralelogramo igual a ABCD. (Todos los puntos se pueden arrastrar.)
  2. Trácese DB, que divide ABCD en los dos triángulos ABD, DBC.
    Postulado 1
    Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  3. Constrúyase el paralelogramo FKHG igual al triángulo ABD, en el ángulo HKF igual al ángulo E.
    Proposición I.42
    Proposición I.42: Construir, en un ángulo rectilíneo dado, un paralelogramo igual a un triángulo dado.
  4. Aplíquese a la recta GH el paralelogramo GHML igual al triángulo DBC, en el ángulo GHM igual al ángulo E.
    Proposición I.44
    Proposición I.44: Aplicar a una recta dada, en un ángulo rectilíneo dado, un paralelogramo igual a un triángulo dado.
  5. Como cada uno de los ángulos HKF, GHM es igual al ángulo E, añádase a cada uno el ángulo KHG; entonces los ángulos KHG, GHM son iguales a los ángulos FKH, KHG, es decir, a dos rectos; por tanto KH está en línea recta con HM. Del mismo modo FG está en línea recta con GL.
    Noción común 1Noción común 2Proposición I.29Proposición I.14
    Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
    Noción común 2: Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.
    Proposición I.29: Una recta que incide sobre rectas paralelas forma los ángulos alternos iguales entre sí, el externo igual al interno y opuesto, y los internos del mismo lado iguales a dos rectos.
    Proposición I.14: Si con una recta y en un punto de ella dos rectas no situadas del mismo lado forman ángulos adyacentes iguales a dos rectos, las dos rectas estarán en línea recta.
  6. Por tanto KFLM es un paralelogramo; es igual a los dos triángulos ABD, DBC, es decir, a ABCD, y tiene el ángulo FKM igual al ángulo E.
    Proposición I.30Proposición I.33Noción común 2
    Proposición I.30: Las rectas paralelas a una misma recta son también paralelas entre sí.
    Proposición I.33: Las rectas que unen por los extremos del mismo lado rectas iguales y paralelas son también iguales y paralelas.
    Noción común 2: Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.