यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए ABCD दी गई ऋजुरेखीय आकृति है और E दिया गया ऋजुरेखीय कोण है। दिए गए कोण E में ABCD के बराबर एक समांतर चतुर्भुज बनाना है। (सभी बिंदुओं को खींचा जा सकता है।)
2. DB मिलाइए, जो ABCD को दो त्रिभुजों ABD, DBC में बाँटती है।

   अभिगृहीत 1

   अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
3. त्रिभुज ABD के बराबर समांतर चतुर्भुज FKHG बनाइए, जिसका कोण HKF कोण E के बराबर हो।

   साध्य I.42

   साध्य I.42: दिए गए ऋजुरेखीय कोण में, दिए गए त्रिभुज के बराबर समांतर चतुर्भुज बनाना।
4. सरल रेखा GH पर त्रिभुज DBC के बराबर समांतर चतुर्भुज GHML लगाइए, जिसका कोण GHM कोण E के बराबर हो।

   साध्य I.44

   साध्य I.44: दी गई सरल रेखा पर, दिए गए ऋजुरेखीय कोण में, दिए गए त्रिभुज के बराबर समांतर चतुर्भुज लगाना।
5. चूँकि कोण HKF, GHM दोनों कोण E के बराबर हैं, दोनों में कोण KHG जोड़िए; तो कोण KHG, GHM का योग कोण FKH, KHG के योग के बराबर है, यानी दो समकोणों के; अतः KH, HM की सीध में है। इसी प्रकार FG, GL की सीध में है।

   स्वयंसिद्ध 1स्वयंसिद्ध 2साध्य I.29साध्य I.14

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।

   स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।

   साध्य I.29: समांतर सरल रेखाओं पर पड़ने वाली सरल रेखा एकांतर कोणों को परस्पर बराबर, बहिष्कोण को अंतः सम्मुख कोण के बराबर, और एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती है।

   साध्य I.14: यदि किसी सरल रेखा के एक बिंदु पर, उसकी एक ही ओर न पड़ी दो सरल रेखाएँ आसन्न कोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाएँ, तो वे दोनों रेखाएँ एक सीध में होंगी।
6. इसलिए KFLM समांतर चतुर्भुज है; वह दोनों त्रिभुजों ABD, DBC के योग के बराबर है, यानी ABCD के, और उसका कोण FKM कोण E के बराबर है।

   साध्य I.30साध्य I.33स्वयंसिद्ध 2

   साध्य I.30: एक ही सरल रेखा के समांतर सरल रेखाएँ परस्पर भी समांतर होती हैं।

   साध्य I.33: बराबर और समांतर सरल रेखाओं के एक ही ओर के सिरों को मिलाने वाली सरल रेखाएँ स्वयं भी बराबर और समांतर होती हैं।

   स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।

यही रचना करनी थी।