Euklids Elemente Buch I

1. Die gegebene Gerade sei AB. Man soll über AB ein Quadrat zeichnen. (Ziehen Sie A oder B.)
2. Im Punkt A der Geraden AB errichte man AC rechtwinklig zu AB.

   Proposition I.11

   Proposition I.11: Auf einer gegebenen Geraden in einem gegebenen Punkt auf ihr eine rechtwinklige Gerade zu errichten.
3. Auf ihr schneide man AD gleich AB ab.

   Proposition I.3

   Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.
4. Durch D ziehe man DE parallel zu AB und durch B ziehe man BE parallel zu AD.

   Proposition I.31

   Proposition I.31: Durch einen gegebenen Punkt eine einer gegebenen Geraden parallele Gerade zu ziehen.
5. Dann ist ADEB ein Parallelogramm; also ist AB gleich DE und AD gleich BE. AB ist aber gleich AD; also sind die vier Seiten BA, AD, DE, EB einander gleich.

   Proposition I.34Axiom 1

   Proposition I.34: Im Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale halbiert es.

   Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
6. Da ferner AD auf die Parallelen AB, DE fällt, sind die Winkel BAD, ADE zusammen zwei Rechten gleich. Der Winkel BAD ist aber ein Rechter; also ist auch der Winkel ADE ein Rechter, und die gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms sind gleich, so dass alle vier Winkel Rechte sind. Also ist ADEB das über AB gezeichnete Quadrat.

   Proposition I.29Proposition I.34Definition 22

   Proposition I.29: Eine gerade Linie, die zwei parallele gerade Linien schneidet, bildet einander gleiche Wechselwinkel, macht den Außenwinkel dem inneren gegenüberliegenden gleich und die inneren auf derselben Seite zusammen zwei Rechten gleich.

   Proposition I.34: Im Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten und Winkel einander gleich, und die Diagonale halbiert es.

   Definition 22: Unter den vierseitigen Figuren ist ein Quadrat jede, die gleichseitig und rechtwinklig ist; ein Rechteck jede, die rechtwinklig, aber nicht gleichseitig ist; eine Raute jede, die gleichseitig, aber nicht rechtwinklig ist; ein Rhomboid jede, deren gegenüberliegende Seiten und Winkel einander gleich sind, die aber weder gleichseitig noch rechtwinklig ist. Die übrigen Vierecke sollen Trapeze heißen.

Das war zu konstruieren.