Начала Евклида Книга I

23 определения · 5 постулатов · 5 аксиом · 48 предложений

Предложение I.46 · Задача

На данной прямой описать квадрат.

Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
  1. Пусть AB — данная прямая. Требуется на AB надстроить квадрат. (Попробуйте перетащить A или B.)
  2. Из точки A на прямой AB проведём AC под прямым углом к AB.
    Предложение I.11
    Предложение I.11: К данной прямой из данной на ней точки провести прямую под прямыми углами.
  3. Отложим на ней AD, равную AB.
    Предложение I.3
    Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.
  4. Через D проведём DE параллельно AB, а через B проведём BE параллельно AD.
    Предложение I.31
    Предложение I.31: Через данную точку провести прямую линию, параллельную данной прямой.
  5. Тогда ADEB — параллелограмм; значит, AB равна DE, а AD равна BE. Но AB равна AD; значит, четыре стороны BA, AD, DE, EB равны между собой.
    Предложение I.34Аксиома 1
    Предложение I.34: В параллелограммах противоположные стороны и углы равны между собой, и диагональ рассекает их пополам.
    Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
  6. Далее, так как AD падает на параллельные AB, DE, углы BAD, ADE вместе равны двум прямым. Но угол BAD прямой; значит, и угол ADE прямой, а противоположные углы параллелограмма равны, так что все четыре угла прямые. Итак, ADEB — квадрат, надстроенный на AB.
    Предложение I.29Предложение I.34Определение 22
    Предложение I.29: Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, внешний угол, равный внутреннему противолежащему, и внутренние односторонние углы, вместе равные двум прямым.
    Предложение I.34: В параллелограммах противоположные стороны и углы равны между собой, и диагональ рассекает их пополам.
    Определение 22: Из четырёхсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя, и прямоугольная; разносторонник — прямоугольная, но не равносторонняя; ромб — равносторонняя, но не прямоугольная; ромбоид — имеющая противоположные стороны и углы равными между собой, но не являющаяся ни равносторонней, ни прямоугольной. Остальные же четырёхсторонники будем называть трапециями.