Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.46 · Problema

Describir un cuadrado sobre una recta dada.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. Sea AB la recta dada. Hay que describir un cuadrado sobre AB. (Prueba a arrastrar A o B.)
  2. Desde el punto A de la recta AB trácese AC en ángulo recto con AB.
    Proposición I.11
    Proposición I.11: Trazar una recta que forme ángulos rectos con una recta dada desde un punto dado en ella.
  3. Córtese en ella AD igual a AB.
    Proposición I.3
    Proposición I.3: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
  4. Por D trácese DE paralela a AB, y por B trácese BE paralela a AD.
    Proposición I.31
    Proposición I.31: Trazar por un punto dado una recta paralela a una recta dada.
  5. Entonces ADEB es un paralelogramo; por tanto AB es igual a DE, y AD a BE. Pero AB es igual a AD; por tanto los cuatro lados BA, AD, DE, EB son iguales entre sí.
    Proposición I.34Noción común 1
    Proposición I.34: En los paralelogramos, los lados y los ángulos opuestos son iguales entre sí, y la diagonal los divide en dos partes iguales.
    Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
  6. Además, como AD cae sobre las paralelas AB, DE, los ángulos BAD, ADE son iguales a dos rectos. Pero el ángulo BAD es recto; por tanto el ángulo ADE es también recto, y los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, así que los cuatro ángulos son rectos. Por tanto ADEB es el cuadrado descrito sobre AB.
    Proposición I.29Proposición I.34Definición 22
    Proposición I.29: Una recta que incide sobre rectas paralelas forma los ángulos alternos iguales entre sí, el externo igual al interno y opuesto, y los internos del mismo lado iguales a dos rectos.
    Proposición I.34: En los paralelogramos, los lados y los ángulos opuestos son iguales entre sí, y la diagonal los divide en dos partes iguales.
    Definición 22: De las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular; rectángulo, la que es rectangular pero no equilátera; rombo, la que es equilátera pero no rectangular; romboide, la que tiene los lados y ángulos opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular. Y llámense trapecios los demás cuadriláteros.