命題 I.46 · 作図題
与えられた直線の上に正方形を描くこと。
赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
- AB を与えられた直線とする。AB の上に正方形を描かなければならない。（A や B をドラッグしてみてください。）
- 直線 AB 上の点 A から、AB に直角に AC を引く。命題 I.11命題 I.11：与えられた直線上の与えられた点から、その直線に直角に直線を引くこと。
- その上に AB に等しく AD を切り取る。命題 I.3命題 I.3：等しくない 2 直線が与えられたとき、大きい方から小さい方に等しい直線を切り取ること。
- D を通って AB に平行に DE を、B を通って AD に平行に BE を引く。命題 I.31命題 I.31：与えられた点を通って、与えられた直線に平行な直線を引くこと。
- すると ADEB は平行四辺形である。よって AB は DE に、AD は BE に等しい。しかし AB は AD に等しい。よって 4 辺 BA、AD、DE、EB は互いに等しい。命題 I.34公理 1命題 I.34：平行四辺形では、向かい合う辺と角は互いに等しく、対角線はそれを 2 等分する。公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。
- また AD は平行線 AB、DE に交わるから、角 BAD、ADE の和は 2 直角に等しい。しかし角 BAD は直角だから、角 ADE も直角であり、平行四辺形の対角は等しいから、4 つの角はすべて直角である。ゆえに ADEB は AB の上に描かれた正方形である。命題 I.29命題 I.34定義 22命題 I.29：平行な 2 直線と交わる直線は、錯角を互いに等しくし、外角を内対角に等しくし、同じ側の内角の和を 2 直角に等しくする。命題 I.34：平行四辺形では、向かい合う辺と角は互いに等しく、対角線はそれを 2 等分する。定義 22：四辺形のうち、等辺かつ直角であるものを正方形、直角であるが等辺でないものを長方形、等辺であるが直角でないものをひし形、向かい合う辺と角が互いに等しいが等辺でも直角でもないものを長斜方形という。これら以外の四辺形は台形とよぶことにする。
これが作図すべきことであった。