أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ABC مثلثًا قائم الزاوية، وزاويته BAC قائمة. فنقول: إن المربع المرسوم على BC مساوٍ لمجموع المربعين المرسومين على BA، AC. (اسحب A: تنزلق على نصف الدائرة المرسوم على BC، فتبقى الزاوية قائمة.)
2. نرسم على BC المربع BDEC، وعلى BA، AC المربعين GB، HC.

   القضية I.46

   القضية I.46: أن نرسم مربعًا على خط مستقيم معلوم.
3. ونُخرج من A الخط AL موازيًا لـ BD أو لـ CE.

   القضية I.31

   القضية I.31: أن نُخرج من نقطة معلومة خطًا مستقيمًا موازيًا لخط مستقيم معلوم.
4. ونصل AD، FC.

   المصادرة 1

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
5. لأن كلًّا من الزاويتين BAC، BAG قائمة، فإن الخطين AC، AG، عند النقطة A من الخط BA وليسا في جهة واحدة منه، يُحدثان زاويتين متجاورتين مساويتين لقائمتين؛ فـ CA على استقامة AG. ولمثل ذلك يكون BA على استقامة AH.

   التعريف 22القضية I.14

   التعريف 22: ومن الأشكال الرباعية: المربع ما كان متساوي الأضلاع قائم الزوايا، والمستطيل ما كان قائم الزوايا غير متساوي الأضلاع، والمعيّن ما كان متساوي الأضلاع غير قائم الزوايا، والشبيه بالمعيّن ما تساوت أضلاعه وزواياه المتقابلة ولم يكن متساوي الأضلاع ولا قائم الزوايا. وما سوى ذلك من الرباعيات يُسمّى منحرفات.

   القضية I.14: إذا أحدث خطان مستقيمان، عند نقطة على خط مستقيم وليسا في جهة واحدة منه، زاويتين متجاورتين مساويتين لقائمتين، فإن الخطين على استقامة واحدة.
6. والزاوية DBC مساوية للزاوية FBA، لأن كلًّا منهما قائمة؛ فإذا زدنا على كلٍّ منهما الزاوية ABC، كانت الزاوية DBA بكاملها مساوية للزاوية FBC بكاملها.

   المصادرة 4العلم المتعارف 2

   المصادرة 4: أن الزوايا القائمة كلها متساوية.

   العلم المتعارف 2: إذا زيدت على المتساويات أشياء متساوية كانت الجملة متساوية.
7. ولأن DB مساوٍ لـ BC، وFB مساوٍ لـ BA، يكون الضلعان AB، BD مساويين للضلعين FB، BC كلٌّ لنظيره، والزاوية ABD مساوية للزاوية FBC؛ فالقاعدة AD مساوية للقاعدة FC، والمثلث ABD مساوٍ للمثلث FBC.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.
8. ومتوازي الأضلاع BL ضعف المثلث ABD، لأنهما على قاعدة واحدة BD وبين المتوازيين BD، AL. والمربع GB ضعف المثلث FBC، لأنهما على قاعدة واحدة FB وبين المتوازيين FB، GC.

   القضية I.41

   القضية I.41: إذا كان متوازي أضلاع ومثلث على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين بأعيانهما، فإن متوازي الأضلاع ضعف المثلث.
9. وأضعاف المتساويات متساوية؛ فمتوازي الأضلاع BL مساوٍ للمربع GB.
10. وبمثل ذلك، إذا وصلنا AE، BK، تبيّن أن المثلث ACE مساوٍ للمثلث KCB؛ ومتوازي الأضلاع CL ضعف الأول، والمربع HC ضعف الثاني.

    القضية I.4القضية I.41

    القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.

    القضية I.41: إذا كان متوازي أضلاع ومثلث على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين بأعيانهما، فإن متوازي الأضلاع ضعف المثلث.
11. فمتوازي الأضلاع CL مساوٍ للمربع HC.
12. فالمربع BDEC بكامله مساوٍ لمجموع المربعين GB، HC. والمربع BDEC مرسوم على BC، والمربعان GB، HC مرسومان على BA، AC. فالمربع المرسوم على الضلع BC مساوٍ لمجموع المربعين المرسومين على الضلعين BA، AC.

    العلم المتعارف 2

    العلم المتعارف 2: إذا زيدت على المتساويات أشياء متساوية كانت الجملة متساوية.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.