Начала Евклида Книга I

1. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом BAC. Утверждается, что квадрат на BC равен квадратам на BA, AC. (Перетаскивайте A: точка скользит по полуокружности на BC, поэтому угол остаётся прямым.)
2. Опишем на BC квадрат BDEC, а на BA, AC — квадраты GB, HC.

   Предложение I.46

   Предложение I.46: На данной прямой описать квадрат.
3. Через A проведём AL параллельно BD или CE.

   Предложение I.31

   Предложение I.31: Через данную точку провести прямую линию, параллельную данной прямой.
4. Проведём AD, FC.

   Постулат 1

   Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
5. Так как каждый из углов BAC, BAG прямой, то к прямой BA в её точке A две прямые AC, AG, лежащие не по одну сторону, образуют смежные углы, равные двум прямым; значит, CA находится на одной прямой с AG. По той же причине и BA находится на одной прямой с AH.

   Определение 22Предложение I.14

   Определение 22: Из четырёхсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя, и прямоугольная; разносторонник — прямоугольная, но не равносторонняя; ромб — равносторонняя, но не прямоугольная; ромбоид — имеющая противоположные стороны и углы равными между собой, но не являющаяся ни равносторонней, ни прямоугольной. Остальные же четырёхсторонники будем называть трапециями.

   Предложение I.14: Если к какой-нибудь прямой и в какой-нибудь её точке две прямые, лежащие не по одну сторону, образуют смежные углы, вместе равные двум прямым, то эти прямые будут по прямой друг с другом.
6. Угол DBC равен углу FBA, так как каждый из них прямой; прибавим к каждому угол ABC; значит, весь угол DBA равен всему углу FBC.

   Постулат 4Аксиома 2

   Постулат 4: И что все прямые углы равны между собой.

   Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
7. Так как DB равна BC, а FB равна BA, то две стороны AB, BD равны соответственно двум сторонам FB, BC, и угол ABD равен углу FBC; значит, основание AD равно основанию FC, и треугольник ABD равен треугольнику FBC.

   Предложение I.4

   Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
8. Параллелограмм BL вдвое больше треугольника ABD, так как у них одно и то же основание BD и они находятся между одними и теми же параллельными BD, AL. И квадрат GB вдвое больше треугольника FBC, так как у них одно и то же основание FB и они находятся между одними и теми же параллельными FB, GC.

   Предложение I.41

   Предложение I.41: Если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллельными, то параллелограмм вдвое больше треугольника.
9. Удвоенные равных равны между собой; значит, и параллелограмм BL равен квадрату GB.
10. Подобным же образом, если провести AE, BK, доказывается, что треугольник ACE равен треугольнику KCB; параллелограмм CL вдвое больше первого, а квадрат HC вдвое больше второго.

    Предложение I.4Предложение I.41

    Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.

    Предложение I.41: Если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллельными, то параллелограмм вдвое больше треугольника.
11. Значит, и параллелограмм CL равен квадрату HC.
12. Значит, весь квадрат BDEC равен двум квадратам GB, HC. При этом квадрат BDEC описан на BC, а квадраты GB, HC — на BA, AC. Значит, квадрат на стороне BC равен квадратам на сторонах BA, AC.

    Аксиома 2

    Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

Что и требовалось доказать.