几何原本 卷一

1. 设 ABC 是直角三角形，∠BAC 是直角。断言：BC 上的正方形等于 BA、AC 上的正方形之和。（拖动 A，它沿 BC 上的半圆移动，直角始终保持。）
2. 在 BC 上作正方形 BDEC，在 BA、AC 上作正方形 GB、HC。

   命题 I.46

   命题 I.46：在已知线段上作一个正方形。
3. 过 A 作 AL 平行于 BD 或 CE。

   命题 I.31

   命题 I.31：过一已知点作一直线平行于已知直线。
4. 连接 AD、FC。

   公设 1

   公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
5. 因为 ∠BAC、∠BAG 都是直角，在直线 BA 上的点 A，不在同侧的两直线 AC、AG 所成的邻角之和等于两直角，所以 CA 与 AG 在同一直线上。同理，BA 与 AH 也在同一直线上。

   定义 22命题 I.14

   定义 22：四边形中，四边相等且四角都是直角的叫正方形；角是直角而边不全相等的叫长方形；四边相等而角不是直角的叫菱形；对边、对角相等，但边不全相等、角也不是直角的叫斜方形；其余的四边形叫不规则四边形。

   命题 I.14：若过一条直线上一点，有不在它同侧的两条直线与它所成的邻角之和等于两直角，则这两条直线在同一直线上。
6. 因为 ∠DBC 等于 ∠FBA（都是直角），给它们各加上 ∠ABC，所以整个 ∠DBA 等于整个 ∠FBC。

   公设 4公理 2

   公设 4：凡直角都彼此相等。

   公理 2：等量加等量，其和仍相等。
7. 又因为 DB 等于 BC，FB 等于 BA，两边 AB、BD 分别等于两边 FB、BC，且 ∠ABD 等于 ∠FBC，所以底 AD 等于底 FC，三角形 ABD 等于三角形 FBC。

   命题 I.4

   命题 I.4：若两个三角形有两边分别相等，且这两边的夹角也相等，则它们的底边相等，两个三角形全等，其余的角也分别相等。
8. 平行四边形 BL 与三角形 ABD 同底 BD，且在相同两平行线 BD、AL 之间，所以 BL 是三角形 ABD 的二倍。正方形 GB 与三角形 FBC 同底 FB，且在相同两平行线 FB、GC 之间，所以正方形 GB 是三角形 FBC 的二倍。

   命题 I.41

   命题 I.41：若一个平行四边形与一个三角形同底，且在相同两平行线之间，则平行四边形是三角形的二倍。
9. 等量的二倍彼此相等，所以平行四边形 BL 等于正方形 GB。
10. 同理，连接 AE、BK，可以证明三角形 ACE 等于三角形 KCB，从而平行四边形 CL 是前者的二倍，正方形 HC 是后者的二倍。

    命题 I.4命题 I.41

    命题 I.4：若两个三角形有两边分别相等，且这两边的夹角也相等，则它们的底边相等，两个三角形全等，其余的角也分别相等。

    命题 I.41：若一个平行四边形与一个三角形同底，且在相同两平行线之间，则平行四边形是三角形的二倍。
11. 所以平行四边形 CL 等于正方形 HC。
12. 整个正方形 BDEC 等于两个正方形 GB、HC 之和。而正方形 BDEC 作在 BC 上，正方形 GB、HC 作在 BA、AC 上，所以 BC 上的正方形等于 BA、AC 上的正方形之和。

    公理 2

    公理 2：等量加等量，其和仍相等。

这就是所要证明的。