Elementos de Euclides Libro I

1. Sea ABC un triángulo rectángulo con el ángulo BAC recto. Se afirma que el cuadrado de BC es igual a los cuadrados de BA, AC. (Arrastra A: se desliza por el semicírculo sobre BC, de modo que el ángulo sigue siendo recto.)
2. Sobre BC descríbase el cuadrado BDEC, y sobre BA, AC los cuadrados GB, HC.

   Proposición I.46

   Proposición I.46: Describir un cuadrado sobre una recta dada.
3. Por A trácese AL paralela a BD o a CE.

   Proposición I.31

   Proposición I.31: Trazar por un punto dado una recta paralela a una recta dada.
4. Trácense AD, FC.

   Postulado 1

   Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
5. Como cada uno de los ángulos BAC, BAG es recto, con la recta BA y en su punto A, las dos rectas AC, AG, no situadas del mismo lado, forman ángulos adyacentes iguales a dos rectos; por tanto CA está en línea recta con AG. Por la misma razón, BA está también en línea recta con AH.

   Definición 22Proposición I.14

   Definición 22: De las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular; rectángulo, la que es rectangular pero no equilátera; rombo, la que es equilátera pero no rectangular; romboide, la que tiene los lados y ángulos opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular. Y llámense trapecios los demás cuadriláteros.

   Proposición I.14: Si con una recta y en un punto de ella dos rectas no situadas del mismo lado forman ángulos adyacentes iguales a dos rectos, las dos rectas estarán en línea recta.
6. El ángulo DBC es igual al ángulo FBA, pues ambos son rectos; añádase a cada uno el ángulo ABC; por tanto el ángulo total DBA es igual al ángulo total FBC.

   Postulado 4Noción común 2

   Postulado 4: Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

   Noción común 2: Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.
7. Como DB es igual a BC y FB a BA, los dos lados AB, BD son iguales respectivamente a los dos lados FB, BC, y el ángulo ABD es igual al ángulo FBC; por tanto la base AD es igual a la base FC, y el triángulo ABD es igual al triángulo FBC.

   Proposición I.4

   Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
8. El paralelogramo BL es el doble del triángulo ABD, pues tienen la misma base BD y están entre las mismas paralelas BD, AL. Asimismo, el cuadrado GB es el doble del triángulo FBC, pues tienen la misma base FB y están entre las mismas paralelas FB, GC.

   Proposición I.41

   Proposición I.41: Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.
9. Los dobles de cosas iguales son iguales entre sí; por tanto el paralelogramo BL es también igual al cuadrado GB.
10. Del mismo modo, si se trazan AE, BK, se demuestra que el triángulo ACE es igual al triángulo KCB; el paralelogramo CL es el doble del primero y el cuadrado HC el doble del segundo.

    Proposición I.4Proposición I.41

    Proposición I.4: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.

    Proposición I.41: Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.
11. Por tanto el paralelogramo CL es también igual al cuadrado HC.
12. Por tanto el cuadrado total BDEC es igual a los dos cuadrados GB, HC. Ahora bien, el cuadrado BDEC está descrito sobre BC, y los cuadrados GB, HC sobre BA, AC. Por tanto el cuadrado del lado BC es igual a los cuadrados de los lados BA, AC.

    Noción común 2

    Noción común 2: Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.

Que es lo que había que demostrar.