यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण BAC समकोण है। दावा: BC पर बना वर्ग BA, AC पर बने वर्गों के योग के बराबर है। (A को खींचिए: यह BC पर बने अर्धवृत्त पर खिसकता है, इसलिए कोण समकोण ही रहता है।)
2. BC पर वर्ग BDEC खींचिए, और BA, AC पर वर्ग GB, HC खींचिए।

   साध्य I.46

   साध्य I.46: दी गई सरल रेखा पर वर्ग खींचना।
3. A से होकर BD या CE के समांतर AL खींचिए।

   साध्य I.31

   साध्य I.31: दिए गए बिंदु से होकर दी गई सरल रेखा के समांतर सरल रेखा खींचना।
4. AD, FC मिलाइए।

   अभिगृहीत 1

   अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
5. चूँकि कोण BAC, BAG दोनों समकोण हैं, इसलिए सरल रेखा BA के बिंदु A पर, एक ही ओर न पड़ी दो सरल रेखाएँ AC, AG आसन्न कोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाती हैं; अतः CA और AG एक सीध में हैं। इसी कारण BA और AH भी एक सीध में हैं।

   परिभाषा 22साध्य I.14

   परिभाषा 22: चतुर्भुजों में, वर्ग वह है जो समबाहु भी हो और समकोणीय भी; आयत वह जो समकोणीय हो पर समबाहु नहीं; समचतुर्भुज वह जो समबाहु हो पर समकोणीय नहीं; और समांतर-चतुर्भुजाभ वह जिसकी सम्मुख भुजाएँ और सम्मुख कोण बराबर हों, पर जो न समबाहु हो न समकोणीय। इनके अतिरिक्त अन्य चतुर्भुज विषम चतुर्भुज कहलाएँ।

   साध्य I.14: यदि किसी सरल रेखा के एक बिंदु पर, उसकी एक ही ओर न पड़ी दो सरल रेखाएँ आसन्न कोणों का योग दो समकोणों के बराबर बनाएँ, तो वे दोनों रेखाएँ एक सीध में होंगी।
6. कोण DBC कोण FBA के बराबर है, क्योंकि दोनों समकोण हैं; दोनों में कोण ABC जोड़िए; तो पूरा कोण DBA पूरे कोण FBC के बराबर है।

   अभिगृहीत 4स्वयंसिद्ध 2

   अभिगृहीत 4: सभी समकोण परस्पर बराबर होते हैं।

   स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
7. चूँकि DB, BC के बराबर है और FB, BA के बराबर है, इसलिए दो भुजाएँ AB, BD क्रमशः दो भुजाओं FB, BC के बराबर हैं, और कोण ABD कोण FBC के बराबर है; इसलिए आधार AD आधार FC के बराबर है, और त्रिभुज ABD त्रिभुज FBC के बराबर है।

   साध्य I.4

   साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।
8. समांतर चतुर्भुज BL त्रिभुज ABD का दुगुना है, क्योंकि दोनों का आधार BD एक ही है और दोनों समांतर रेखाओं BD, AL के बीच हैं। इसी प्रकार वर्ग GB त्रिभुज FBC का दुगुना है, क्योंकि दोनों का आधार FB एक ही है और दोनों समांतर रेखाओं FB, GC के बीच हैं।

   साध्य I.41

   साध्य I.41: यदि कोई समांतर चतुर्भुज किसी त्रिभुज के साथ एक ही आधार पर हो और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हो, तो समांतर चतुर्भुज त्रिभुज का दुगुना होता है।
9. बराबरों के दुगुने परस्पर बराबर होते हैं; इसलिए समांतर चतुर्भुज BL भी वर्ग GB के बराबर है।
10. इसी प्रकार AE, BK मिलाने पर सिद्ध होता है कि त्रिभुज ACE त्रिभुज KCB के बराबर है; समांतर चतुर्भुज CL पहले का दुगुना है और वर्ग HC दूसरे का दुगुना है।

    साध्य I.4साध्य I.41

    साध्य I.4: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर हों, तो उनके आधार भी बराबर होंगे, त्रिभुज त्रिभुज के बराबर होगा, और शेष कोण क्रमशः शेष कोणों के बराबर होंगे।

    साध्य I.41: यदि कोई समांतर चतुर्भुज किसी त्रिभुज के साथ एक ही आधार पर हो और एक ही समांतर रेखाओं के बीच हो, तो समांतर चतुर्भुज त्रिभुज का दुगुना होता है।
11. इसलिए समांतर चतुर्भुज CL भी वर्ग HC के बराबर है।
12. अतः पूरा वर्ग BDEC दोनों वर्गों GB, HC के योग के बराबर है। वर्ग BDEC भुजा BC पर बना है, और वर्ग GB, HC भुजाओं BA, AC पर। इसलिए भुजा BC पर बना वर्ग भुजाओं BA, AC पर बने वर्गों के योग के बराबर है।

    स्वयंसिद्ध 2

    स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।

यही सिद्ध करना था।