Euklids Elemente Buch I

1. Das Dreieck ABC sei rechtwinklig mit dem rechten Winkel BAC. Behauptung: Das Quadrat über BC ist den Quadraten über BA, AC zusammen gleich. (Ziehen Sie A: Der Punkt gleitet auf dem Halbkreis über BC, so dass der Winkel ein Rechter bleibt.)
2. Über BC zeichne man das Quadrat BDEC, über BA, AC die Quadrate GB, HC.

   Proposition I.46

   Proposition I.46: Über einer gegebenen Strecke das Quadrat zu errichten.
3. Durch A ziehe man AL parallel zu BD oder CE.

   Proposition I.31

   Proposition I.31: Durch einen gegebenen Punkt eine einer gegebenen Geraden parallele Gerade zu ziehen.
4. Man ziehe AD, FC.

   Postulat 1

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
5. Da jeder der Winkel BAC, BAG ein Rechter ist, bilden an der Strecke BA im Punkt A auf ihr die zwei nicht auf derselben Seite liegenden Strecken AC, AG Nebenwinkel, die zusammen zwei Rechten gleich sind; also liegt CA mit AG in gerader Linie. Aus demselben Grund liegt auch BA mit AH in gerader Linie.

   Definition 22Proposition I.14

   Definition 22: Unter den vierseitigen Figuren ist ein Quadrat jede, die gleichseitig und rechtwinklig ist; ein Rechteck jede, die rechtwinklig, aber nicht gleichseitig ist; eine Raute jede, die gleichseitig, aber nicht rechtwinklig ist; ein Rhomboid jede, deren gegenüberliegende Seiten und Winkel einander gleich sind, die aber weder gleichseitig noch rechtwinklig ist. Die übrigen Vierecke sollen Trapeze heißen.

   Proposition I.14: Wenn an einer geraden Linie in einem Punkt auf ihr zwei nicht auf derselben Seite liegende gerade Linien Nebenwinkel bilden, die zusammen zwei Rechten gleich sind, dann liegen diese zwei geraden Linien in gerader Linie.
6. Der Winkel DBC ist gleich dem Winkel FBA, denn beide sind Rechte; man füge beiden den Winkel ABC hinzu; dann ist der ganze Winkel DBA gleich dem ganzen Winkel FBC.

   Postulat 4Axiom 2

   Postulat 4: dass alle rechten Winkel einander gleich sind,

   Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
7. Da DB gleich BC und FB gleich BA ist, sind die zwei Seiten AB, BD den zwei Seiten FB, BC entsprechend gleich, und der Winkel ABD ist gleich dem Winkel FBC; also ist die Grundlinie AD gleich der Grundlinie FC, und das Dreieck ABD ist gleich dem Dreieck FBC.

   Proposition I.4

   Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
8. Das Parallelogramm BL ist doppelt so groß wie das Dreieck ABD, denn sie haben dieselbe Grundlinie BD und liegen zwischen denselben Parallelen BD, AL. Ebenso ist das Quadrat GB doppelt so groß wie das Dreieck FBC, denn sie haben dieselbe Grundlinie FB und liegen zwischen denselben Parallelen FB, GC.

   Proposition I.41

   Proposition I.41: Hat ein Parallelogramm mit einem Dreieck dieselbe Grundlinie und liegt es zwischen denselben Parallelen, so ist das Parallelogramm doppelt so groß wie das Dreieck.
9. Die Doppelten von Gleichem sind aber einander gleich; also ist auch das Parallelogramm BL gleich dem Quadrat GB.
10. Ebenso lässt sich, wenn man AE, BK zieht, zeigen, dass das Dreieck ACE gleich dem Dreieck KCB ist; das Parallelogramm CL ist doppelt so groß wie das erste, das Quadrat HC doppelt so groß wie das zweite.

    Proposition I.4Proposition I.41

    Proposition I.4: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.

    Proposition I.41: Hat ein Parallelogramm mit einem Dreieck dieselbe Grundlinie und liegt es zwischen denselben Parallelen, so ist das Parallelogramm doppelt so groß wie das Dreieck.
11. Also ist auch das Parallelogramm CL gleich dem Quadrat HC.
12. Also ist das ganze Quadrat BDEC den zwei Quadraten GB, HC zusammen gleich. Das Quadrat BDEC ist über BC gezeichnet, die Quadrate GB, HC über BA, AC. Also ist das Quadrat über der Seite BC den Quadraten über den Seiten BA, AC zusammen gleich.

    Axiom 2

    Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.

Das war zu beweisen.