Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soit ABC un triangle rectangle ayant l'angle BAC droit. Je dis que le carré de BC est égal aux carrés de BA, AC. (Déplacez A : il glisse sur le demi-cercle construit sur BC, si bien que l'angle reste droit.)
2. Sur BC, décrivons le carré BDEC, et sur BA, AC les carrés GB, HC.

   Proposition I.46

   Proposition I.46 : Sur une droite donnée, décrire un carré.
3. Par A, menons AL parallèle à BD ou à CE.

   Proposition I.31

   Proposition I.31 : Par un point donné, mener une droite parallèle à une droite donnée.
4. Menons AD, FC.

   Demande 1

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
5. Puisque chacun des angles BAC, BAG est droit, avec la droite BA et en son point A, les deux droites AC, AG, non placées du même côté, font les angles adjacents égaux à deux droits ; donc CA est en ligne droite avec AG. Pour la même raison, BA est aussi en ligne droite avec AH.

   Définition 22Proposition I.14

   Définition 22 : Parmi les quadrilatères, le carré est celui qui est à la fois équilatéral et rectangle ; le rectangle (oblong), celui qui est rectangle sans être équilatéral ; le losange, celui qui est équilatéral sans être rectangle ; le rhomboïde, celui dont les côtés et les angles opposés sont égaux, sans être ni équilatéral ni rectangle. Les autres quadrilatères s'appellent trapèzes.

   Proposition I.14 : Si, avec une droite et en un de ses points, deux droites non placées du même côté font les angles adjacents égaux à deux droits, ces deux droites seront en ligne droite.
6. L'angle DBC est égal à l'angle FBA, car chacun est droit ; ajoutons à chacun l'angle ABC ; donc l'angle total DBA est égal à l'angle total FBC.

   Demande 4Notion commune 2

   Demande 4 : Que tous les angles droits sont égaux entre eux.

   Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.
7. Puisque DB est égale à BC et FB à BA, les deux côtés AB, BD sont égaux aux deux côtés FB, BC, chacun à chacun, et l'angle ABD est égal à l'angle FBC ; donc la base AD est égale à la base FC, et le triangle ABD est égal au triangle FBC.

   Proposition I.4

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
8. Le parallélogramme BL est double du triangle ABD, car ils ont la même base BD et sont entre les mêmes parallèles BD, AL. De même, le carré GB est double du triangle FBC, car ils ont la même base FB et sont entre les mêmes parallèles FB, GC.

   Proposition I.41

   Proposition I.41 : Si un parallélogramme a la même base qu'un triangle et est entre les mêmes parallèles, le parallélogramme est double du triangle.
9. Or les doubles de choses égales sont égaux entre eux ; donc le parallélogramme BL est aussi égal au carré GB.
10. De la même manière, en menant AE, BK, on montre que le triangle ACE est égal au triangle KCB ; le parallélogramme CL est double du premier et le carré HC double du second.

    Proposition I.4Proposition I.41

    Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.

    Proposition I.41 : Si un parallélogramme a la même base qu'un triangle et est entre les mêmes parallèles, le parallélogramme est double du triangle.
11. Donc le parallélogramme CL est aussi égal au carré HC.
12. Donc le carré total BDEC est égal aux deux carrés GB, HC. Or le carré BDEC est décrit sur BC, et les carrés GB, HC sur BA, AC. Donc le carré du côté BC est égal aux carrés des côtés BA, AC.

    Notion commune 2

    Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.

Ce qu'il fallait démontrer.