أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن المربع الكائن من الضلع BC في المثلث ABC مساويًا لمجموع المربعين الكائنين من الضلعين BA، AC. فنقول: إن الزاوية BAC قائمة. (جرّب سحب A أو B أو C.)
2. نُخرج من النقطة A الخط AD على زوايا قائمة مع الخط AC، ونجعل AD مساويًا لـ AB، ونصل DC.

   القضية I.11القضية I.3المصادرة 1

   القضية I.11: أن نُخرج من نقطة معلومة على خط مستقيم معلوم خطًا مستقيمًا على زوايا قائمة.

   القضية I.3: إذا عُلم خطان مستقيمان غير متساويين، أن نفصل من الأعظم خطًا مساويًا للأصغر.

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
3. لأن DA مساوٍ لـ AB، فالمربع من DA مساوٍ للمربع من AB. نزيد على كلٍّ منهما المربع من AC، فمجموع المربعين من DA، AC مساوٍ لمجموع المربعين من BA، AC.

   العلم المتعارف 2

   العلم المتعارف 2: إذا زيدت على المتساويات أشياء متساوية كانت الجملة متساوية.
4. ولأن الزاوية DAC قائمة، فالمربع من DC مساوٍ لمجموع المربعين من DA، AC؛ والمربع من BC مساوٍ بالفرض لمجموع المربعين من BA، AC. فالمربع من DC مساوٍ للمربع من BC، فـ DC مساوٍ لـ BC.

   القضية I.47العلم المتعارف 1

   القضية I.47: في المثلثات القائمة الزاوية، المربع المرسوم على الضلع الموتّر للزاوية القائمة مساوٍ لمجموع المربعين المرسومين على الضلعين المحيطين بالقائمة.

   العلم المتعارف 1: الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.
5. ولأن DA مساوٍ لـ AB، وAC مشترك، والقاعدة DC مساوية للقاعدة BC، فالزاوية DAC مساوية للزاوية BAC. لكن الزاوية DAC قائمة؛ فالزاوية BAC أيضًا قائمة.

   القضية I.8

   القضية I.8: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت القاعدة مساوية للقاعدة، فإن الزاويتين اللتين يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتان.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.