Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Dans le triangle ABC, que le carré sur le côté BC soit égal aux carrés sur les côtés BA, AC. Je dis que l'angle BAC est droit. (Essayez de déplacer A, B ou C.)
2. Du point A menons AD à angles droits avec la droite AC, faisons AD égale à AB, et menons DC.

   Proposition I.11Proposition I.3Demande 1

   Proposition I.11 : D'un point donné sur une droite donnée, mener une droite à angles droits avec elle.

   Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
3. Puisque DA est égale à AB, le carré sur DA est égal au carré sur AB. Ajoutons à chacun le carré sur AC ; les carrés sur DA, AC sont alors égaux aux carrés sur BA, AC.

   Notion commune 2

   Notion commune 2 : Si à des choses égales on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.
4. Puisque l'angle DAC est droit, le carré sur DC est égal aux carrés sur DA, AC ; et le carré sur BC est égal par hypothèse aux carrés sur BA, AC. Donc le carré sur DC est égal au carré sur BC, de sorte que DC est égale à BC.

   Proposition I.47Notion commune 1

   Proposition I.47 : Dans les triangles rectangles, le carré du côté qui sous-tend l'angle droit est égal aux carrés des côtés qui comprennent l'angle droit.

   Notion commune 1 : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.
5. Puisque DA est égale à AB et que AC est commune, et que la base DC est égale à la base BC, l'angle DAC est égal à l'angle BAC. Mais l'angle DAC est droit ; donc l'angle BAC est aussi droit.

   Proposition I.8

   Proposition I.8 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et la base égale à la base, ils auront aussi égaux les angles compris par les droites égales.

Ce qu'il fallait démontrer.