几何原本 卷一

1. 设三角形 ABC 中，BC 上的正方形等于 BA、AC 上的两个正方形之和。断言：∠BAC 是直角。（拖动 A、B 或 C 试试。）
2. 从点 A 作 AD 与直线 AC 成直角，使 AD 等于 AB，并连接 DC。

   命题 I.11命题 I.3公设 1

   命题 I.11：由已知直线上一已知点作一直线与已知直线成直角。

   命题 I.3：已知两条不相等的线段，从较长的线段上截取一段等于较短的线段。

   公设 1：由任意一点到另一任意一点可以作直线。
3. 因为 DA 等于 AB，所以 DA 上的正方形等于 AB 上的正方形。两边各加上 AC 上的正方形，于是 DA、AC 上的正方形之和等于 BA、AC 上的正方形之和。

   公理 2

   公理 2：等量加等量，其和仍相等。
4. 因为 ∠DAC 是直角，DC 上的正方形等于 DA、AC 上的正方形之和；而 BC 上的正方形按假设等于 BA、AC 上的正方形之和。所以 DC 上的正方形等于 BC 上的正方形，于是 DC 等于 BC。

   命题 I.47公理 1

   命题 I.47：在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上的正方形之和。

   公理 1：等于同量的量彼此相等。
5. 因为 DA 等于 AB，AC 是公共边，底 DC 等于底 BC，所以 ∠DAC 等于 ∠BAC。而 ∠DAC 是直角，所以 ∠BAC 也是直角。

   命题 I.8

   命题 I.8：若两个三角形的三边分别相等，则夹在相等边之间的角也相等。

这就是所要证明的。