Начала Евклида Книга I

1. Пусть в треугольнике ABC квадрат на стороне BC равен квадратам на сторонах BA, AC. Утверждается, что угол BAC прямой. (Попробуйте перетащить A, B или C.)
2. Из точки A проведём AD под прямым углом к прямой AC, сделаем AD равной AB и проведём DC.

   Предложение I.11Предложение I.3Постулат 1

   Предложение I.11: К данной прямой из данной на ней точки провести прямую под прямыми углами.

   Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.

   Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
3. Так как DA равна AB, квадрат на DA равен квадрату на AB. Прибавим к каждому квадрат на AC; тогда квадраты на DA, AC равны квадратам на BA, AC.

   Аксиома 2

   Аксиома 2: И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
4. Так как угол DAC прямой, квадрат на DC равен квадратам на DA, AC; а квадрат на BC по предположению равен квадратам на BA, AC. Значит, квадрат на DC равен квадрату на BC, и потому DC равна BC.

   Предложение I.47Аксиома 1

   Предложение I.47: В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен вместе взятым квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.

   Аксиома 1: Равные одному и тому же равны и между собой.
5. Так как DA равна AB, AC общая, и основание DC равно основанию BC, то угол DAC равен углу BAC. Но угол DAC прямой; значит, и угол BAC прямой.

   Предложение I.8

   Предложение I.8: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и основание, равное основанию, то они будут иметь и угол, заключённый между равными прямыми, равный углу.

Что и требовалось доказать.