यूक्लिड के तत्व पुस्तक I

1. मान लीजिए त्रिभुज ABC में भुजा BC पर का वर्ग भुजाओं BA, AC पर के वर्गों के योग के बराबर है। दावा: कोण BAC समकोण है। (A, B या C को खींचकर देखिए।)
2. बिंदु A से सरल रेखा AC पर समकोण बनाती AD खींचिए, AD को AB के बराबर बनाइए, और DC मिलाइए।

   साध्य I.11साध्य I.3अभिगृहीत 1

   साध्य I.11: दी गई सरल रेखा पर स्थित दिए गए बिंदु से उस पर समकोण बनाती सरल रेखा खींचना।

   साध्य I.3: दो असमान सरल रेखाएँ दी हों, तो बड़ी में से छोटी के बराबर सरल रेखा काटना।

   अभिगृहीत 1: किसी भी बिंदु से किसी भी बिंदु तक सरल रेखा खींची जा सकती है।
3. चूँकि DA, AB के बराबर है, इसलिए DA पर का वर्ग AB पर के वर्ग के बराबर है। दोनों में AC पर का वर्ग जोड़िए; तो DA, AC पर के वर्गों का योग BA, AC पर के वर्गों के योग के बराबर है।

   स्वयंसिद्ध 2

   स्वयंसिद्ध 2: यदि बराबरों में बराबर जोड़े जाएँ, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
4. चूँकि कोण DAC समकोण है, DC पर का वर्ग DA, AC पर के वर्गों के योग के बराबर है; और BC पर का वर्ग परिकल्पना से BA, AC पर के वर्गों के योग के बराबर है। अतः DC पर का वर्ग BC पर के वर्ग के बराबर है, इसलिए DC, BC के बराबर है।

   साध्य I.47स्वयंसिद्ध 1

   साध्य I.47: समकोण त्रिभुजों में, समकोण के सामने की भुजा पर बना वर्ग समकोण बनाने वाली भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

   स्वयंसिद्ध 1: जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर हों, वे परस्पर भी बराबर होती हैं।
5. चूँकि DA, AB के बराबर है और AC उभयनिष्ठ है, और आधार DC आधार BC के बराबर है, इसलिए कोण DAC कोण BAC के बराबर है। पर कोण DAC समकोण है; अतः कोण BAC भी समकोण है।

   साध्य I.8

   साध्य I.8: यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ क्रमशः दो भुजाओं के बराबर हों और आधार भी आधार के बराबर हो, तो बराबर रेखाओं से बने कोण भी बराबर होंगे।

यही सिद्ध करना था।