Elementos de Euclides Libro I

23 definiciones · 5 postulados · 5 nociones comunes · 48 proposiciones

Proposición I.48 · Teorema

Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a los cuadrados de los dos lados restantes, el ángulo comprendido por esos dos lados es recto.

Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
  1. En el triángulo ABC sea el cuadrado sobre el lado BC igual a los cuadrados sobre los lados BA, AC. Se afirma que el ángulo BAC es recto. (Prueba a arrastrar A, B o C.)
  2. Desde el punto A trácese AD en ángulo recto con la recta AC, hágase AD igual a AB, y trácese DC.
    Proposición I.11Proposición I.3Postulado 1
    Proposición I.11: Trazar una recta que forme ángulos rectos con una recta dada desde un punto dado en ella.
    Proposición I.3: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.
    Postulado 1: Trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  3. Como DA es igual a AB, el cuadrado sobre DA es igual al cuadrado sobre AB. Añádase a cada uno el cuadrado sobre AC; entonces los cuadrados sobre DA, AC son iguales a los cuadrados sobre BA, AC.
    Noción común 2
    Noción común 2: Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los totales son iguales.
  4. Como el ángulo DAC es recto, el cuadrado sobre DC es igual a los cuadrados sobre DA, AC; y el cuadrado sobre BC es igual por hipótesis a los cuadrados sobre BA, AC. Por tanto el cuadrado sobre DC es igual al cuadrado sobre BC, de modo que DC es igual a BC.
    Proposición I.47Noción común 1
    Proposición I.47: En los triángulos rectángulos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.
    Noción común 1: Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
  5. Como DA es igual a AB y AC es común, y la base DC es igual a la base BC, el ángulo DAC es igual al ángulo BAC. Pero el ángulo DAC es recto; por tanto el ángulo BAC es también recto.
    Proposición I.8
    Proposición I.8: Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen también la base igual a la base, tendrán también iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales.