ユークリッド原論 第1巻

1. 三角形 ABC において、辺 BC の上の正方形が辺 BA、AC の上の正方形の和に等しいとする。主張：角 BAC は直角である。（A、B、C をドラッグしてみてください。）
2. 点 A から直線 AC に直角に AD を引き、AD を AB に等しくし、DC を結ぶ。

   命題 I.11命題 I.3公準 1

   命題 I.11：与えられた直線上の与えられた点から、その直線に直角に直線を引くこと。

   命題 I.3：等しくない 2 直線が与えられたとき、大きい方から小さい方に等しい直線を切り取ること。

   公準 1：任意の点から任意の点へ直線を引くこと。
3. DA は AB に等しいから、DA の上の正方形は AB の上の正方形に等しい。それぞれに AC の上の正方形を加えると、DA、AC の上の正方形の和は BA、AC の上の正方形の和に等しい。

   公理 2

   公理 2：等しいものに等しいものが加えられれば、全体は等しい。
4. 角 DAC は直角だから、DC の上の正方形は DA、AC の上の正方形の和に等しい。また BC の上の正方形は仮定により BA、AC の上の正方形の和に等しい。よって DC の上の正方形は BC の上の正方形に等しく、DC は BC に等しい。

   命題 I.47公理 1

   命題 I.47：直角三角形において、直角に対する辺の上の正方形は、直角をはさむ 2 辺の上の正方形の和に等しい。

   公理 1：同じものに等しいものは、互いにも等しい。
5. DA は AB に等しく、AC は共通で、底辺 DC は底辺 BC に等しいから、角 DAC は角 BAC に等しい。しかし角 DAC は直角である。ゆえに角 BAC も直角である。

   命題 I.8

   命題 I.8：2 つの三角形が 2 辺をそれぞれ 2 辺に等しくもち、さらに底辺も底辺に等しければ、等しい直線にはさまれた角も等しい。

これが証明すべきことであった。