Euklids Elemente Buch I

1. Im Dreieck ABC sei das Quadrat über der Seite BC den Quadraten über den Seiten BA, AC zusammen gleich. Behauptung: Der Winkel BAC ist ein Rechter. (Ziehen Sie A, B oder C.)
2. Im Punkt A errichte man AD rechtwinklig zur Geraden AC, mache AD gleich AB und ziehe DC.

   Proposition I.11Proposition I.3Postulat 1

   Proposition I.11: Auf einer gegebenen Geraden in einem gegebenen Punkt auf ihr eine rechtwinklige Gerade zu errichten.

   Proposition I.3: Wenn zwei ungleiche Strecken gegeben sind, auf der größeren eine der kleineren gleiche Strecke abzutragen.

   Postulat 1: Gefordert soll sein, dass man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann,
3. Da DA gleich AB ist, ist das Quadrat über DA dem Quadrat über AB gleich. Man füge beiderseits das Quadrat über AC hinzu; dann sind die Quadrate über DA, AC den Quadraten über BA, AC gleich.

   Axiom 2

   Axiom 2: Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
4. Da der Winkel DAC ein Rechter ist, ist das Quadrat über DC den Quadraten über DA, AC gleich; und das Quadrat über BC ist nach Voraussetzung den Quadraten über BA, AC gleich. Also ist das Quadrat über DC dem Quadrat über BC gleich, und damit DC gleich BC.

   Proposition I.47Axiom 1

   Proposition I.47: Am rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite den Quadraten über den den rechten Winkel umfassenden Seiten zusammen gleich.

   Axiom 1: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
5. Da DA gleich AB und AC gemeinsam ist und die Grundlinie DC gleich der Grundlinie BC, ist der Winkel DAC gleich dem Winkel BAC. Der Winkel DAC ist aber ein Rechter; also ist auch der Winkel BAC ein Rechter.

   Proposition I.8

   Proposition I.8: Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und auch die Grundlinie der Grundlinie gleich ist, dann sind auch die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich.

Das war zu beweisen.