Proposition I.4 · Lehrsatz
Wenn in zwei Dreiecken zwei Seiten zwei Seiten entsprechend gleich sind und die von den gleichen Strecken umfassten Winkel einander gleich sind, dann ist auch die Grundlinie der Grundlinie gleich, das Dreieck dem Dreieck, und die übrigen Winkel sind den übrigen Winkeln entsprechend gleich.
Ziehen Sie die rot umrandeten Punkte. Die Figur ändert sich, und jeder Schritt des Beweises bleibt gültig.
- In den Dreiecken ABC, DEF sei AB gleich DE, AC gleich DF und der Winkel BAC gleich dem Winkel EDF. Behauptung: Die Grundlinie BC ist gleich der Grundlinie EF, das Dreieck ABC ist gleich dem Dreieck DEF, und die übrigen Winkel sind gleich, nämlich ABC gleich DEF und ACB gleich DFE. (Ziehen Sie E, um das Dreieck DEF zu drehen.)
- Man lege das Dreieck ABC so auf das Dreieck DEF, dass der Punkt A auf den Punkt D und die Strecke AB auf DE fällt. Da AB gleich DE ist, fällt der Punkt B auf E.
- Liegt AB auf DE, so fällt die Strecke AC auf DF, weil der Winkel BAC gleich dem Winkel EDF ist; und da AC gleich DF ist, fällt der Punkt C auf F.
- B fällt auf E und C auf F, also deckt die Grundlinie BC die Grundlinie EF (sonst würden zwei Strecken eine Fläche umschließen, was unmöglich ist). Was einander deckt, ist einander gleich; also ist BC gleich EF.Axiom 4Axiom 4: Was einander deckt, ist einander gleich.
- Damit deckt das ganze Dreieck ABC das ganze Dreieck DEF und ist ihm gleich, und die übrigen Winkel decken die übrigen Winkel und sind ihnen gleich: der Winkel ABC dem Winkel DEF und ACB dem Winkel DFE.Axiom 4Axiom 4: Was einander deckt, ist einander gleich.
Das war zu beweisen.