ユークリッド原論 第1巻

定義 23 · 公準 5 · 公理 5 · 命題 48

命題 I.4 · 定理

2 つの三角形が 2 辺をそれぞれ 2 辺に等しくもち、等しい直線にはさまれた角が等しいならば、底辺も底辺に等しく、三角形は三角形に等しく、残りの角も残りの角にそれぞれ等しい。

赤い丸の点はドラッグできます。図が変わっても、証明の各段階はそのまま成り立ちます。
  1. 三角形 ABC、DEF において、AB が DE に、AC が DF に等しく、角 BAC が角 EDF に等しいとする。主張：底辺 BC は底辺 EF に等しく、三角形 ABC は三角形 DEF に等しく、残りの角も等しい。すなわち角 ABC は DEF に、ACB は DFE に等しい。（E をドラッグすると三角形 DEF が回転します。）
  2. 三角形 ABC を三角形 DEF に重ね、点 A を点 D に、直線 AB を DE に重ねる。AB は DE に等しいから、点 B は E と一致する。
  3. AB が DE に重なると、角 BAC は角 EDF に等しいから、直線 AC は DF に重なる。また AC は DF に等しいから、点 C は F と一致する。
  4. B が E と、C が F と一致するから、底辺 BC は底辺 EF と一致する（さもなければ 2 本の直線が面を囲むことになり、不可能である）。互いに重なり合うものは等しいから、BC は EF に等しい。
    公理 4
    公理 4：互いに重なり合うものは、互いに等しい。
  5. こうして三角形 ABC 全体は三角形 DEF 全体と一致して等しく、残りの角も残りの角と一致して等しい。すなわち角 ABC は DEF に、ACB は DFE に等しい。
    公理 4
    公理 4：互いに重なり合うものは、互いに等しい。