Proposition I.4 · Théorème
Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
Déplacez les points entourés de rouge. La figure change, et chaque étape de la démonstration reste vraie.
- Soient ABC, DEF deux triangles où AB est égale à DE, AC égale à DF, et l'angle BAC égal à l'angle EDF. Je dis que la base BC est égale à la base EF, que le triangle ABC est égal au triangle DEF, et que les angles restants sont égaux : ABC à DEF et ACB à DFE. (Déplacez E pour faire tourner le triangle DEF.)
- Appliquons le triangle ABC sur le triangle DEF, le point A sur le point D et la droite AB sur DE. Puisque AB est égale à DE, le point B coïncidera avec E.
- AB étant sur DE, la droite AC tombera sur DF, parce que l'angle BAC est égal à l'angle EDF ; et puisque AC est égale à DF, le point C coïncidera avec F.
- B coïncide avec E et C avec F, donc la base BC coïncide avec la base EF (sinon deux droites enfermeraient un espace, ce qui est impossible). Les choses qui coïncident sont égales ; donc BC est égale à EF.Notion commune 4Notion commune 4 : Les choses qui coïncident entre elles sont égales entre elles.
- Ainsi le triangle ABC tout entier coïncide avec le triangle DEF tout entier et lui est égal, et les angles restants coïncident avec les angles restants et leur sont égaux : l'angle ABC à DEF, et ACB à DFE.Notion commune 4Notion commune 4 : Les choses qui coïncident entre elles sont égales entre elles.
Ce qu'il fallait démontrer.