命题 I.4 · 边角边 — 几何原本

命题 I.4 · 定理

若两个三角形有两边分别相等，且这两边的夹角也相等，则它们的底边相等，两个三角形全等，其余的角也分别相等。

红圈的点可以拖动，图形会随之改变，而证明的每一步仍然成立。

设三角形 ABC、DEF 中，AB 等于 DE，AC 等于 DF，且 ∠BAC 等于 ∠EDF。断言：底 BC 等于底 EF，三角形 ABC 等于三角形 DEF，其余的角也分别相等：∠ABC 等于 ∠DEF，∠ACB 等于 ∠DFE。（拖动 E 可以转动三角形 DEF。）
把三角形 ABC 移到三角形 DEF 上，使点 A 落在点 D 上，直线 AB 落在 DE 上。因为 AB 等于 DE，所以点 B 与点 E 重合。
AB 与 DE 重合后，因为 ∠BAC 等于 ∠EDF，直线 AC 也落在 DF 上；又因为 AC 等于 DF，所以点 C 与点 F 重合。
B 与 E 重合，C 与 F 重合，所以底 BC 与底 EF 重合（否则两条直线将围成一块面积，这是不可能的）。彼此重合的东西相等，所以 BC 等于 EF。
公理 4
公理 4：彼此能重合的东西是相等的。
于是整个三角形 ABC 与整个三角形 DEF 重合，两者相等；其余的角也与其余的角重合而相等：∠ABC 等于 ∠DEF，∠ACB 等于 ∠DFE。
公理 4
公理 4：彼此能重合的东西是相等的。