Предложение I.4 · Теорема
Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть в треугольниках ABC, DEF сторона AB равна DE, AC равна DF и угол BAC равен углу EDF. Утверждается, что основание BC равно основанию EF, треугольник ABC равен треугольнику DEF, и остальные углы равны: ABC углу DEF и ACB углу DFE. (Перетаскивайте E, чтобы поворачивать треугольник DEF.)
- Наложим треугольник ABC на треугольник DEF так, чтобы точка A совпала с точкой D, а прямая AB легла на DE. Так как AB равна DE, точка B совпадёт с E.
- Когда AB лежит на DE, прямая AC ляжет на DF, потому что угол BAC равен углу EDF; а так как AC равна DF, точка C совпадёт с F.
- B совпадает с E, а C с F, поэтому основание BC совпадёт с основанием EF (иначе две прямые ограничивали бы площадь, что невозможно). Совмещающиеся друг с другом равны, значит, BC равна EF.Аксиома 4Аксиома 4: И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
- Итак, весь треугольник ABC совмещается со всем треугольником DEF и равен ему, и остальные углы совмещаются с остальными углами и равны им: угол ABC углу DEF, а ACB углу DFE.Аксиома 4Аксиома 4: И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
Что и требовалось доказать.