Proposición I.4 · Teorema
Si dos triángulos tienen dos lados iguales respectivamente a dos lados y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también la base igual a la base, el triángulo será igual al triángulo y los ángulos restantes serán iguales a los ángulos restantes.
Arrastra los puntos marcados con un círculo rojo. La figura cambia y cada paso de la demostración sigue siendo válido.
- Sean ABC, DEF dos triángulos con AB igual a DE, AC igual a DF y el ángulo BAC igual al ángulo EDF. Se afirma que la base BC es igual a la base EF, el triángulo ABC es igual al triángulo DEF, y los ángulos restantes son iguales: ABC a DEF y ACB a DFE. (Arrastra E para girar el triángulo DEF.)
- Aplíquese el triángulo ABC sobre el triángulo DEF, colocando el punto A sobre el punto D y la recta AB sobre DE. Como AB es igual a DE, el punto B coincidirá con E.
- Estando AB sobre DE, la recta AC caerá sobre DF, porque el ángulo BAC es igual al ángulo EDF; y como AC es igual a DF, el punto C coincidirá con F.
- B coincide con E y C con F, así que la base BC coincide con la base EF (de lo contrario dos rectas encerrarían un espacio, lo cual es imposible). Las cosas que coinciden entre sí son iguales; por tanto BC es igual a EF.Noción común 4Noción común 4: Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
- Así, el triángulo ABC entero coincide con el triángulo DEF entero y es igual a él, y los ángulos restantes coinciden con los restantes y son iguales: el ángulo ABC a DEF, y ACB a DFE.Noción común 4Noción común 4: Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
Que es lo que había que demostrar.