أصول إقليدس المقالة الأولى

1. ليكن ABC مثلثًا متساوي الساقين، فيه AB مساوٍ لـ AC. فنقول: إن زاويتي القاعدة ABC، ACB متساويتان، وإذا أُخرج الضلعان المتساويان كانت الزاويتان تحت القاعدة متساويتين أيضًا. (عند سحب C تتحرك على الدائرة التي مركزها A، فيبقى الضلعان متساويين.)
2. نُخرج AB، AC على استقامتهما إلى BD، CE.

   المصادرة 2

   المصادرة 2: أن نُخرج الخط المستقيم المحدود على استقامته متصلًا.
3. نأخذ على BD نقطة كيفما اتفق ولتكن F (يمكنك سحبها)، ونفصل من الأعظم AE الخط AG مساويًا لـ AF.

   القضية I.3

   القضية I.3: إذا عُلم خطان مستقيمان غير متساويين، أن نفصل من الأعظم خطًا مساويًا للأصغر.
4. ونصل FC، GB.

   المصادرة 1

   المصادرة 1: أن نصل بين أي نقطتين بخط مستقيم.
5. لأن AF مساوٍ لـ AG، وAB مساوٍ لـ AC، يكون الضلعان FA، AC مساويين للضلعين GA، AB، ويحيطان بالزاوية المشتركة FAG؛ فالقاعدة FC مساوية للقاعدة GB، والمثلث AFC مساوٍ للمثلث AGB، والزاويتان الباقيتان متساويتان: ACF للزاوية ABG، وAFC للزاوية AGB.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.
6. ولأن AF بكامله مساوٍ لـ AG بكامله، ومنهما AB مساوٍ لـ AC، يبقى BF مساويًا للباقي CG.

   العلم المتعارف 3

   العلم المتعارف 3: إذا نُقصت من المتساويات أشياء متساوية كانت البواقي متساوية.
7. وقد تبيّن أن FC مساوٍ لـ GB؛ فالضلعان BF، FC مساويان للضلعين CG، GB، والزاوية BFC مساوية للزاوية CGB، والقاعدة BC مشتركة؛ فالمثلث BFC مساوٍ للمثلث CGB، والزاويتان الباقيتان متساويتان: FBC للزاوية GCB، وBCF للزاوية CBG.

   القضية I.4

   القضية I.4: إذا كان ضلعان من مثلث مساويين لضلعين من مثلث آخر كلٌّ لنظيره، وكانت الزاويتان اللتان يحيط بهما الضلعان المتساويان متساويتين، فإن القاعدة تساوي القاعدة، والمثلث يساوي المثلث، والزاويتين الباقيتين تساويان الزاويتين الباقيتين كلٌّ لنظيرتها.
8. وقد تبيّن أن الزاوية ABG بكاملها مساوية للزاوية ACF بكاملها، ومنهما الزاوية CBG مساوية لـ BCF؛ فالزاوية الباقية ABC مساوية للزاوية الباقية ACB، وهما على القاعدة. وتبيّن أيضًا أن الزاوية FBC مساوية لـ GCB، وهما تحت القاعدة.

   العلم المتعارف 3

   العلم المتعارف 3: إذا نُقصت من المتساويات أشياء متساوية كانت البواقي متساوية.

وذلك ما أردنا أن نبيّن.