Les Éléments d'Euclide Livre I

1. Soit ABC un triangle isocèle où AB est égale à AC. Je dis que les angles à la base ABC, ACB sont égaux et que, si l'on prolonge les côtés égaux, les angles sous la base sont aussi égaux. (En déplaçant C, il glisse sur le cercle de centre A, de sorte que les deux côtés restent égaux.)
2. Prolongeons AB, AC en ligne droite par BD, CE.

   Demande 2

   Demande 2 : Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
3. Prenons sur BD un point quelconque F (vous pouvez le déplacer), et retranchons de la plus grande AE la droite AG égale à AF.

   Proposition I.3

   Proposition I.3 : Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.
4. Menons FC, GB.

   Demande 1

   Demande 1 : Mener une droite d'un point quelconque à un point quelconque.
5. Puisque AF est égale à AG et AB à AC, les deux côtés FA, AC sont égaux aux deux côtés GA, AB et comprennent l'angle commun FAG ; donc la base FC est égale à la base GB, le triangle AFC est égal au triangle AGB, et les angles restants sont égaux : ACF à ABG, et AFC à AGB.

   Proposition I.4

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
6. Puisque AF tout entière est égale à AG tout entière, et que AB est égale à AC, le reste BF est égal au reste CG.

   Notion commune 3

   Notion commune 3 : Si de choses égales on retranche des choses égales, les restes sont égaux.
7. On a montré que FC est égale à GB ; ainsi les deux côtés BF, FC sont égaux aux deux côtés CG, GB, l'angle BFC est égal à l'angle CGB, et la base BC est commune ; donc le triangle BFC est égal au triangle CGB, et les angles restants sont égaux : FBC à GCB, et BCF à CBG.

   Proposition I.4

   Proposition I.4 : Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et les angles compris par les droites égales égaux, ils auront aussi la base égale à la base, le triangle sera égal au triangle, et les angles restants seront égaux aux angles restants, chacun à chacun.
8. On a montré que l'angle entier ABG est égal à l'angle entier ACF, et que l'angle CBG est égal à BCF ; donc l'angle restant ABC est égal à l'angle restant ACB, et ils sont à la base. De plus, l'angle FBC est égal à GCB, et ils sont sous la base.

   Notion commune 3

   Notion commune 3 : Si de choses égales on retranche des choses égales, les restes sont égaux.

Ce qu'il fallait démontrer.