Предложение I.5 · Теорема
У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой, и по продолжении равных прямых углы под основанием будут равны между собой.
Перетаскивайте точки, обведённые красным. Чертёж меняется, а каждый шаг доказательства остаётся верным.
- Пусть ABC — равнобедренный треугольник, в котором AB равна AC. Утверждается, что углы при основании ABC, ACB равны и что по продолжении равных сторон углы под основанием тоже равны. (При перетаскивании точка C движется по окружности с центром A, поэтому боковые стороны остаются равными.)
- Продолжим AB, AC по прямой до BD, CE.Постулат 2Постулат 2: И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Возьмём на BD произвольную точку F (её можно перетаскивать) и от большей AE отнимем AG, равную AF.Предложение I.3Предложение I.3: Даны две неравные прямые; отнять от большей прямую, равную меньшей.
- Проведём FC, GB.Постулат 1Постулат 1: Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Так как AF равна AG, а AB равна AC, то две стороны FA, AC равны двум сторонам GA, AB и заключают общий угол FAG; значит, основание FC равно основанию GB, треугольник AFC равен треугольнику AGB, и остальные углы равны: ACF углу ABG, AFC углу AGB.Предложение I.4Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
- Так как вся AF равна всей AG, а из них AB равна AC, то остаток BF равен остатку CG.Аксиома 3Аксиома 3: И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
- Доказано, что FC равна GB; значит, две стороны BF, FC равны двум сторонам CG, GB, угол BFC равен углу CGB, и основание BC у них общее; значит, треугольник BFC равен треугольнику CGB, и остальные углы равны: FBC углу GCB, BCF углу CBG.Предложение I.4Предложение I.4: Если два треугольника имеют две стороны, равные соответственно двум сторонам, и угол, заключённый между равными прямыми, равен углу, то они будут иметь и основание, равное основанию, треугольник будет равен треугольнику, и остальные углы будут равны остальным углам соответственно.
- Доказано, что весь угол ABG равен всему углу ACF, а из них угол CBG равен BCF; значит, остающийся угол ABC равен остающемуся углу ACB, и они находятся при основании. Также угол FBC равен GCB, и они находятся под основанием.Аксиома 3Аксиома 3: И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
Что и требовалось доказать.